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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 33 − 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 33 − 10 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (7 + 7) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 7 = 14
    2. 14 · 6 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 9 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 6 = 54
    2. 7 + 54 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 37 und erhalte 47. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 55 + 37 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
55375
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 55 + 5 + 37
  2. 55 + 5 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 37 = 97
  1. Vertauschen: 55 + 5 + 37
  2. 55 + 5 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 37 = 97
Ergebnis:
97

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 22 + 76 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    242276
    So fängst du an:
    Vertauschen: 24 + 76 + 22
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 76 + 22
    2. 24 + 76 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 22 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●2
    Milan rechnet 42 + 54 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    42548
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 8 + 54
    2. 42 + 8 = 50
    3. 50 + 54 = 104
    Ergebnis:
    104
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 72 + 531 + 28 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    7253128
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 72 + 28 + 531
    2. 72 + 28 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 531 = 631
    Ergebnis:
    631

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 23
4923
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 23 gibt 1 ab.
  2. 49 + 23 = 50 + 22
  3. 50 + 22 = 72
  1. 49 bekommt 1 dazu, 23 gibt 1 ab.
  2. 49 + 23 = 50 + 22
  3. 50 + 22 = 72
Ergebnis:
72

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 73
    9973
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 73 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 73 gibt 1 ab.
    2. 99 + 73 = 100 + 72
    3. 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    172
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 23 = 100 + ___
    9823
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 23 um 2 kleiner werden: 23 − 2 = 21
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    21
  3. ★6
    Lea rechnet 1997 + 255 als 2000 + 255. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    1997255
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 1997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 2000 + 255 = 2255.
    3. 3 wieder abziehen: 2255 − 3 = 2252
    Ergebnis:
    2252

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
Ergebnis:
133

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 52
    Lösung zeigen
    1. 52 = 50 + 2
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 2 = 6
    3. 150 + 6 = 156
    Ergebnis:
    156
  3. ★9
    Es gibt 9 Tüten mit je 71 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 71
    2. 71 = 70 + 1
    3. 9 · 70 = 630 und 9 · 1 = 9
    4. 630 + 9 = 639
    Ergebnis:
    639 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 273 : 7
Schritt für Schritt
  1. 273 = 210 + 63
  2. 210 : 7 = 30 und 63 : 7 = 9
  3. 30 + 9 = 39
  1. 273 = 210 + 63
  2. 210 : 7 = 30 und 63 : 7 = 9
  3. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    102 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    102 : 6
    Lösung zeigen
    1. 102 : 6
    2. 102 = 60 + 42
    3. 60 : 6 = 10 und 42 : 6 = 7
    4. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 399 : 7
    Lösung zeigen
    1. 399 = 350 + 49
    2. 350 : 7 = 50 und 49 : 7 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★12
    Zerlege 245 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 245 : 7?
    245: 7
    Lösung zeigen
    1. 245 = 210 + 35
    2. 210 : 7 = 30 und 35 : 7 = 5
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 72 − 54 = ___ − 59
Schritt für Schritt
  1. 54 wird zu 59: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 5 größer.
  3. 72 + 5 = 77
  1. 54 wird zu 59: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 5 größer.
  3. 72 + 5 = 77
Ergebnis:
77

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 63 − 38 = ___ − 40
    So fängst du an:
    38 wird zu 40: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 2 größer.
    3. 63 + 2 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 12 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 12 = 3 · ___
    6 · 12=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 52? Nenne ihn und rechne.
    4 · 52zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 52 = 50 + 2.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 52 = 50 + 2.
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 2 = 8
    3. Zusammen: 208
    Ergebnis:
    zerlegen, 208
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 23 + 35 + 77? Nenne ihn und rechne.
    23 + 35 + 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    vertauschen, 135
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 39 + 51 + 61? Nenne ihn und rechne.
    39 + 51 + 61zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    vertauschen, 151

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 44 · 22 das Ergebnis 868. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 868 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 44 · 22 = 968
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 868 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 44 · 22 = 968
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 968

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 25 · 38 das Ergebnis 1150. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 40 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 40 = 1200
    2. 1150 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 25 · 38 = 950
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 950
  2. ●23
    Paul rechnet 491 − 167 und erhält 334. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 334 + 167 = 501
    2. 501 ist nicht 491: Es ist falsch.
    3. 491 − 167 = 324
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 324
  3. ★24
    Zeynep erhält für 406 · 39 das Ergebnis 15.834. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
    2. 15.834 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 406 · 39 = 15.834
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 15.834

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 49 + 13 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    491311
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 49 + 11 + 13
    2. 49 + 11 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 13 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 20 · 6 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2065
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 6
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 47 = 300 + ___
    29847
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 47 um 2 kleiner werden: 47 − 2 = 45
    3. 300 + 45 = 345
    Ergebnis:
    45
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 136 − 28
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 136 − 28 = 138 − 30
    3. 138 − 30 = 108
    Ergebnis:
    108
  5. ●29
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 26?
    2066
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 6 = 36
    3. 6 · 26 = 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 6, zusammen 156
  6. ●30
    Rechne halbschriftlich: 216 : 9
    Lösung zeigen
    1. 216 = 180 + 36
    2. 180 : 9 = 20 und 36 : 9 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 76 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    37763
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Lea rechnet 37 + 48 als 40 + 48. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    3748
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Tüten mit je 48 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    336 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 108 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 108 : 6?
    108: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 44 + 73 = 41 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 720 : 9 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    720 : 9Ergebnis 82?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 80

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 122
  2. 104
  3. 631
  4. 172
  5. 21
  6. 2252
  7. 236
  8. 156
  9. 639 Bonbons
  10. 17 Sticker
  11. 57
  12. 35
  13. 65
  14. 24
  15. 24
  16. 400
  17. 90
  18. 180
  19. zerlegen, 208
  20. vertauschen, 135
  21. vertauschen, 151
  22. falsch, richtig ist 950
  23. falsch, richtig ist 324
  24. stimmt, 15.834
  25. 73
  26. 600
  27. 45
  28. 108
  29. 6 · 20 und 6 · 6, zusammen 156
  30. 24
  31. 116
  32. 85
  33. 336 Bonbons
  34. 18
  35. 76
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 80
  39. 23
  40. 84
  41. 61
  42. 10