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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 6 + 30 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (8 + 3) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 3 = 11
    2. 11 · 7 = 77
    Ergebnis:
    77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 8 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 5 = 40
    2. 9 + 40 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Can rechnet 13 + 22 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
132237
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 37 + 22
  2. 13 + 37 = 50
  3. 50 + 22 = 72
  1. Vertauschen: 13 + 37 + 22
  2. 13 + 37 = 50
  3. 50 + 22 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 25 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    122518
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 18 + 25
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 25
    2. 12 + 18 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 25 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●2
    Rechne geschickt: 53 + 56 + 7
    53567
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 53 + 7 + 56
    2. 53 + 7 = 60
    3. 60 + 56 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 823 + 142 + 46 + 177 + 54 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    8231424617754
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 823 + 177 + 46 + 54 + 142
    2. 823 + 177 = 1000 und 46 + 54 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 142 = 1242
    Ergebnis:
    1242

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Elias rechnet 48 + 89 als 50 + 89. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
4889
Schritt für Schritt
  1. Elias hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 89 = 139.
  3. 2 wieder abziehen: 139 − 2 = 137
  1. Elias hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 89 = 139.
  3. 2 wieder abziehen: 139 − 2 = 137
Ergebnis:
137

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 89 = 100 + ___
    9789
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 89 um 3 kleiner werden: 89 − 3 = 86
    3. 100 + 86 = 186
    Ergebnis:
    86
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 88 = 200 + ___
    19988
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 88 um 1 kleiner werden: 88 − 1 = 87
    3. 200 + 87 = 287
    Ergebnis:
    87
  3. ★6
    Hanna rechnet 499 + 709 als 500 + 709. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    499709
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 499 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 500 + 709 = 1209.
    3. 1 wieder abziehen: 1209 − 1 = 1208
    Ergebnis:
    1208

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Reihen mit je 34 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 34
  2. 34 = 30 + 4
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 4 = 20
  4. 150 + 20 = 170
  1. 5 · 34
  2. 34 = 30 + 4
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 4 = 20
  4. 150 + 20 = 170
Ergebnis:
170 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    3. 270 − 9 = 261
    Ergebnis:
    261
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 37
    Lösung zeigen
    1. 37 = 30 + 7
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 7 = 49
    3. 210 + 49 = 259
    Ergebnis:
    259
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 453
    Lösung zeigen
    1. 453 = 400 + 50 + 3
    2. 5 · 400 = 2000; 5 · 50 = 250; 5 · 3 = 15
    3. 2000 + 250 + 15 = 2265
    Ergebnis:
    2265

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

357 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 357 : 7
  2. 357 = 350 + 7
  3. 350 : 7 = 50 und 7 : 7 = 1
  4. 50 + 1 = 51
  1. 357 : 7
  2. 357 = 350 + 7
  3. 350 : 7 = 50 und 7 : 7 = 1
  4. 50 + 1 = 51
Ergebnis:
51 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 385 : 7
    So fängst du an:
    385 = 350 + 35
    Lösung zeigen
    1. 385 = 350 + 35
    2. 350 : 7 = 50 und 35 : 7 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●11
    Zerlege 369 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 369 : 9?
    369: 9
    Lösung zeigen
    1. 369 = 360 + 9
    2. 360 : 9 = 40 und 9 : 9 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41
  3. ★12
    816 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 816 : 6
    2. 816 = 780 + 36
    3. 780 : 6 = 130 und 36 : 6 = 6
    4. 130 + 6 = 136
    Ergebnis:
    136 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 4 = 2 · ___
4 · 4=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 82 − 51 = ___ − 53
    So fängst du an:
    51 wird zu 53: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 51 wird zu 53: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 82 um 2 größer.
    3. 82 + 2 = 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 62 − 12 = ___ − 14
    Lösung zeigen
    1. 12 wird zu 14: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 62 um 2 größer.
    3. 62 + 2 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 89 − 56 = ___ − 61
    Lösung zeigen
    1. 56 wird zu 61: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 5 größer.
    3. 89 + 5 = 94
    Ergebnis:
    94

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Zeynep verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Jonas verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Aylin verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 17 + 21 + 83? Nenne ihn und rechne.
    17 + 21 + 83zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 17 + 83 = 100
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    vertauschen, 121
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 360 + 198? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 360 + 198 = 358 + 200
    3. 358 + 200 = 558
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 558
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 19 + 53 + 81? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 19 + 81 = 100
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    vertauschen, 153

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 41 · 42 das Ergebnis 1622. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
  2. 1622 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 41 · 42 = 1722
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
  2. 1622 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 41 · 42 = 1722
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1722

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 959 − 658 und erhält 321. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 321 + 658 = 979
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 321 + 658 = 979
    2. 979 ist nicht 959: Es ist falsch.
    3. 959 − 658 = 301
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 301
  2. ●23
    Jonas erhält für 82 · 17 das Ergebnis 1594. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 1594 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 17 = 1394
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1394
  3. ★24
    Jonas rechnet 4272 − 3376 und erhält 996. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 996 + 3376 = 4372
    2. 4372 ist nicht 4272: Es ist falsch.
    3. 4272 − 3376 = 896
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 896

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 81 + 26 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    148126
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 26 + 81
    2. 14 + 26 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 81 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 17 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    17502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 17
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 83 = 50 + ___
    4983
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 83 um 1 kleiner werden: 83 − 1 = 82
    3. 50 + 82 = 132
    Ergebnis:
    82
  4. ●28
    Ben rechnet 103 − 37 als 103 − 40 und erhält 63. Ist das schon das Ergebnis?
    103 − 37103 − 40
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 63 + 3 = 66
    Ergebnis:
    Nein, 66
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    3. 350 − 7 = 343
    Ergebnis:
    343
  6. ●30
    Can rechnet 4 · 26 so: erst 4 · 20, dann 6 dazu. Can erhält 86. Zeige am Bild, was fehlt.
    2064
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 4 · 6 = 24
    3. 80 + 24 = 104
    Ergebnis:
    104

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 7 + 36 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    73623
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 29
    6729
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    96

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 51
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    357

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 200 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 200 : 8?
    200: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 10 = 2 · ___
    4 · 10=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 23 + 48 + 77? Nenne ihn und rechne.
    23 + 48 + 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 148

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 48 · 19 das Ergebnis 912. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 912

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 55
  2. 116
  3. 1242
  4. 86
  5. 87
  6. 1208
  7. 261
  8. 259
  9. 2265
  10. 55
  11. 41
  12. 136 Sticker
  13. 84
  14. 64
  15. 94
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. vertauschen, 121
  20. gegensinnig verändern, 558
  21. vertauschen, 153
  22. falsch, richtig ist 301
  23. falsch, richtig ist 1394
  24. falsch, richtig ist 896
  25. 121
  26. 1700
  27. 82
  28. Nein, 66
  29. 343
  30. 104
  31. 66
  32. 96
  33. 357
  34. 25
  35. 20
  36. 80
  37. vertauschen, 148
  38. stimmt, 912
  39. 36
  40. 77
  41. 49
  42. 41