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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 61 − 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 61 − 25 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (6 + 8) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 8 = 14
    2. 14 · 5 = 70
    Ergebnis:
    70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 7 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
    2. 3 + 14 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 8 und erhalte 63. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 17 + 32 + 23 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
173223
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 23 + 32
  2. 17 + 23 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 32 = 72
  1. Vertauschen: 17 + 23 + 32
  2. 17 + 23 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 32 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 56 + 15 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    56154
    So fängst du an:
    Vertauschen: 56 + 4 + 15
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 4 + 15
    2. 56 + 4 = 60
    3. 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●2
    Can rechnet 46 + 47 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    46474
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 46 + 4 + 47
    2. 46 + 4 = 50
    3. 50 + 47 = 97
    Ergebnis:
    97
  3. ★3
    Hanna rechnet 104 + 552 + 48 + 196 + 52 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    1045524819652
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 104 + 196 + 48 + 52 + 552
    2. 104 + 196 = 300 und 48 + 52 = 100
    3. 300 + 100 + 552 = 952
    Ergebnis:
    952

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Elias rechnet 98 + 23 als 100 + 23. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
9823
Schritt für Schritt
  1. Elias hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 23 = 123.
  3. 2 wieder abziehen: 123 − 2 = 121
  1. Elias hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 23 = 123.
  3. 2 wieder abziehen: 123 − 2 = 121
Ergebnis:
121

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lina rechnet 69 + 66 als 70 + 66. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    6966
    So fängst du an:
    Lina hat 69 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 66 = 136.
    3. 1 wieder abziehen: 136 − 1 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 39
    29839
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
    2. 298 + 39 = 300 + 37
    3. 300 + 37 = 337
    Ergebnis:
    337
  3. ★6
    Mia rechnet 699 + 668 als 700 + 668. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    699668
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 699 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 700 + 668 = 1368.
    3. 1 wieder abziehen: 1368 − 1 = 1367
    Ergebnis:
    1367

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 23
Schritt für Schritt
  1. 23 = 20 + 3
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 3 = 18
  3. 120 + 18 = 138
  1. 23 = 20 + 3
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 3 = 18
  3. 120 + 18 = 138
Ergebnis:
138

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Tüten mit je 39 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 39
    Lösung zeigen
    1. 5 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 9 = 45
    4. 150 + 45 = 195
    Ergebnis:
    195 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    3. 540 − 9 = 531
    Ergebnis:
    531

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 329 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 329 : 7?
329: 7
Schritt für Schritt
  1. 329 = 280 + 49
  2. 280 : 7 = 40 und 49 : 7 = 7
  3. 40 + 7 = 47
  1. 329 = 280 + 49
  2. 280 : 7 = 40 und 49 : 7 = 7
  3. 40 + 7 = 47
Ergebnis:
47

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 513 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 513 : 9?
    513: 9
    So fängst du an:
    513 = 450 + 63
    Lösung zeigen
    1. 513 = 450 + 63
    2. 450 : 9 = 50 und 63 : 9 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●11
    Zerlege 256 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 256 : 4?
    256: 4
    Lösung zeigen
    1. 256 = 240 + 16
    2. 240 : 4 = 60 und 16 : 4 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★12
    1566 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1566 : 9
    2. 1566 = 1530 + 36
    3. 1530 : 9 = 170 und 36 : 9 = 4
    4. 170 + 4 = 174
    Ergebnis:
    174 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 87 + 21 = 89 + ___
87 + 21=89 + ?
Schritt für Schritt
  1. 87 wird zu 89: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 21 um 2 kleiner.
  3. 21 − 2 = 19
  1. 87 wird zu 89: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 21 um 2 kleiner.
  3. 21 − 2 = 19
Ergebnis:
19

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 15 = 2 · ___
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 15 + 29 = 25 + ___
    15 + 29=25 + ?
    Lösung zeigen
    1. 15 wird zu 25: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 10 kleiner.
    3. 29 − 10 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 54 + 42 = 51 + ___
    54 + 42=51 + ?
    Lösung zeigen
    1. 54 wird zu 51: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 42 um 3 größer.
    3. 42 + 3 = 45
    Ergebnis:
    45

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lea verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Emma verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Lina verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 7 · 28? Nenne ihn und rechne.
    7 · 28zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 8 = 56
    3. Zusammen: 196
    Ergebnis:
    zerlegen, 196
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 23 + 37 + 77? Nenne ihn und rechne.
    23 + 37 + 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    vertauschen, 137
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 62 · 29 das Ergebnis 1998. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 1998 liegt zu weit weg. Genau: 62 · 29 = 1798
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 1998 liegt zu weit weg. Genau: 62 · 29 = 1798
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1798

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas erhält für 24 · 34 das Ergebnis 1816. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 20 · 30 = 600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 20 · 30 = 600
    2. 1816 liegt zu weit weg. Genau: 24 · 34 = 816
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 816
  2. ●23
    Can rechnet 969 − 408 und erhält 571. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 571 + 408 = 979
    2. 979 ist nicht 969: Es ist falsch.
    3. 969 − 408 = 561
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 561
  3. ★24
    Tom rechnet 4648 : 7 und erhält 665. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4648 : 7Ergebnis 665?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 665 · 7 = 4655
    2. 4655 ist nicht 4648: Es ist falsch.
    3. 4648 : 7 = 664
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 664

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 47 + 59 + 3
    47593
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 47 + 3 + 59
    2. 47 + 3 = 50
    3. 50 + 59 = 109
    Ergebnis:
    109
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Packungen18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 18
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 75 = 200 + ___
    19875
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 75 um 2 kleiner werden: 75 − 2 = 73
    3. 200 + 73 = 273
    Ergebnis:
    73
  4. ●28
    Zeynep rechnet 122 − 19 als 122 − 20 und erhält 102. Ist das schon das Ergebnis?
    122 − 19122 − 20
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 102 + 1 = 103
    Ergebnis:
    Nein, 103
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 25
    Lösung zeigen
    1. 25 = 20 + 5
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 5 = 15
    3. 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75
  6. ●30
    Zeynep rechnet 3 · 28 so: erst 3 · 20, dann 8 dazu. Zeynep erhält 68. Zeige am Bild, was fehlt.
    2083
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 49 + 84 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    498411
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    144

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 198 + 57 als 200 + 57. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    19857
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    255

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Tüten mit je 57 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    342 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    464 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 40 − 29 = ___ − 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 39 + 73 + 61? Nenne ihn und rechne.
    39 + 73 + 61zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 173

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben erhält für 53 · 28 das Ergebnis 1484. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1484

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 75
  2. 97
  3. 952
  4. 135
  5. 337
  6. 1367
  7. 195 Bonbons
  8. 152
  9. 531
  10. 57
  11. 64
  12. 174 Bücher
  13. 30
  14. 19
  15. 45
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 200
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. zerlegen, 196
  20. vertauschen, 137
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 816
  23. falsch, richtig ist 561
  24. falsch, richtig ist 664
  25. 109
  26. 1800 Bälle
  27. 73
  28. Nein, 103
  29. 75
  30. 84
  31. 144
  32. 255
  33. 342 Bonbons
  34. 58 Murmeln
  35. 50
  36. 80
  37. vertauschen, 173
  38. stimmt, 1484
  39. 36
  40. 70
  41. 17
  42. 55