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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 55 − 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 55 − 20 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 7 = 70
    Ergebnis:
    70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 4 + 36 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 16 und erhalte 26. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 9 + 67 + 31
96731
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 9 + 31 + 67
  2. 9 + 31 = 40
  3. 40 + 67 = 107
  1. Vertauschen: 9 + 31 + 67
  2. 9 + 31 = 40
  3. 40 + 67 = 107
Ergebnis:
107

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 35 + 81 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    193581
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 81 + 35
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 81 + 35
    2. 19 + 81 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●2
    Rechne geschickt: 5 + 52 + 15
    55215
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 15 + 52
    2. 5 + 15 = 20
    3. 20 + 52 = 72
    Ergebnis:
    72
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 132 + 366 + 82 + 868 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    1323668286818
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 132 + 868 + 82 + 18 + 366
    2. 132 + 868 = 1000 und 82 + 18 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 366 = 1466
    Ergebnis:
    1466

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 299 + 64 als 300 + 64. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
29964
Schritt für Schritt
  1. Aylin hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 64 = 364.
  3. 1 wieder abziehen: 364 − 1 = 363
  1. Aylin hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 64 = 364.
  3. 1 wieder abziehen: 364 − 1 = 363
Ergebnis:
363

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 67
    9967
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 67 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 67 gibt 1 ab.
    2. 99 + 67 = 100 + 66
    3. 100 + 66 = 166
    Ergebnis:
    166
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 72 = 100 + ___
    9972
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 72 um 1 kleiner werden: 72 − 1 = 71
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    71
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 696 + 696 = 700 + ___
    696696
    Lösung zeigen
    1. 696 wird zu 700: 4 mehr.
    2. Also muss 696 um 4 kleiner werden: 696 − 4 = 692
    3. 700 + 692 = 1392
    Ergebnis:
    692

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Hefte mit je 62 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 62
  2. 62 = 60 + 2
  3. 4 · 60 = 240 und 4 · 2 = 8
  4. 240 + 8 = 248
  1. 4 · 62
  2. 62 = 60 + 2
  3. 4 · 60 = 240 und 4 · 2 = 8
  4. 240 + 8 = 248
Ergebnis:
248 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171
  2. ●8
    Es gibt 6 Reihen mit je 25 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 25
    2. 25 = 20 + 5
    3. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
    4. 120 + 30 = 150
    Ergebnis:
    150 Stühle
  3. ★9
    Es gibt 8 Hefte mit je 93 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 93
    2. 93 = 90 + 3
    3. 8 · 90 = 720 und 8 · 3 = 24
    4. 720 + 24 = 744
    Ergebnis:
    744 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 190 : 5
Schritt für Schritt
  1. 190 = 150 + 40
  2. 150 : 5 = 30 und 40 : 5 = 8
  3. 30 + 8 = 38
  1. 190 = 150 + 40
  2. 150 : 5 = 30 und 40 : 5 = 8
  3. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 150 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 150 : 6?
    150: 6
    So fängst du an:
    150 = 120 + 30
    Lösung zeigen
    1. 150 = 120 + 30
    2. 120 : 6 = 20 und 30 : 6 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●11
    69 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 69 : 3
    2. 69 = 60 + 9
    3. 60 : 3 = 20 und 9 : 3 = 3
    4. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1295 : 7
    Lösung zeigen
    1. 1295 = 1260 + 35
    2. 1260 : 7 = 180 und 35 : 7 = 5
    3. 180 + 5 = 185
    Ergebnis:
    185

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 30 + 48 = 29 + ___
Schritt für Schritt
  1. 30 wird zu 29: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 1 größer.
  3. 48 + 1 = 49
  1. 30 wird zu 29: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 1 größer.
  3. 48 + 1 = 49
Ergebnis:
49

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 73 + 51 = 70 + ___
    73 + 51=70 + ?
    So fängst du an:
    73 wird zu 70: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 70: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 51 um 3 größer.
    3. 51 + 3 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 13 = 4 · ___
    8 · 13=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 5 = 3 · ___
    6 · 5=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 59? Nenne ihn und rechne.
7 · 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 9 = 63
  3. Zusammen: 413
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 9 = 63
  3. Zusammen: 413
Ergebnis:
zerlegen, 413

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 24 + 79 + 76? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    vertauschen, 179
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 27 + 59 + 73? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    vertauschen, 159

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 348 : 4 und erhält 88. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
348 : 4Ergebnis 88?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 88 · 4 = 352
  2. 352 ist nicht 348: Es ist falsch.
  3. 348 : 4 = 87
  1. Umkehraufgabe: 88 · 4 = 352
  2. 352 ist nicht 348: Es ist falsch.
  3. 348 : 4 = 87
Ergebnis:
falsch, richtig ist 87

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 850 − 352 und erhält 488. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 488 + 352 = 840
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 488 + 352 = 840
    2. 840 ist nicht 850: Es ist falsch.
    3. 850 − 352 = 498
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 498
  2. ●23
    Lea rechnet 189 : 7 und erhält 29. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    189 : 7Ergebnis 29?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 29 · 7 = 203
    2. 203 ist nicht 189: Es ist falsch.
    3. 189 : 7 = 27
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 27
  3. ★24
    Zeynep rechnet 2115 : 9 und erhält 236. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2115 : 9Ergebnis 236?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 236 · 9 = 2124
    2. 2124 ist nicht 2115: Es ist falsch.
    3. 2115 : 9 = 235
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 235

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 39 + 33 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    73933
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 33 + 39
    2. 7 + 33 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 39 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 25 · 6 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2564
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 6
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 68 = 100 + ___
    9768
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 68 um 3 kleiner werden: 68 − 3 = 65
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    65
  4. ●28
    Can rechnet 116 − 39 als 116 − 40 und erhält 76. Ist das schon das Ergebnis?
    116 − 39116 − 40
    Lösung zeigen
    1. Can hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 76 + 1 = 77
    Ergebnis:
    Nein, 77
  5. ●29
    Es gibt 9 Tüten mit je 13 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 3 = 27
    4. 90 + 27 = 117
    Ergebnis:
    117 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 21?
    2015
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 20 = 100
    2. Rechts: 5 · 1 = 5
    3. 5 · 21 = 100 + 5 = 105
    Ergebnis:
    5 · 20 und 5 · 1, zusammen 105

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Elias rechnet 38 + 48 + 62 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    384862
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    148

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Emma rechnet 49 + 88 als 50 + 88. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    4988
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    137

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Reihen mit je 32 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    288 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    468 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 67 − 56 = ___ − 66
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 125 + 299? Nenne ihn und rechne.
    125 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 424

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 367 − 224 und erhält 153. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 143

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 135
  2. 72
  3. 1466
  4. 166
  5. 71
  6. 692
  7. 171
  8. 150 Stühle
  9. 744 Hefte
  10. 25
  11. 23 Sticker
  12. 185
  13. 54
  14. 26
  15. 10
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 810
  19. vertauschen, 179
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. vertauschen, 159
  22. falsch, richtig ist 498
  23. falsch, richtig ist 27
  24. falsch, richtig ist 235
  25. 79
  26. 600
  27. 65
  28. Nein, 77
  29. 117 Bonbons
  30. 5 · 20 und 5 · 1, zusammen 105
  31. 148
  32. 137
  33. 288 Stühle
  34. 52 Sticker
  35. 77
  36. 70
  37. gegensinnig verändern, 424
  38. falsch, richtig ist 143
  39. 35
  40. 70
  41. 40
  42. 10