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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 4 + 10 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (5 + 5) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 5 = 10
    2. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 3 + 20 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 73. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Elias rechnet 21 + 28 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
212829
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 28
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 28 = 78
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 28
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 28 = 78
Ergebnis:
78

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 6 + 82 + 34
    68234
    So fängst du an:
    Vertauschen: 6 + 34 + 82
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 34 + 82
    2. 6 + 34 = 40
    3. 40 + 82 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●2
    Rechne geschickt: 6 + 51 + 54
    65154
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 54 + 51
    2. 6 + 54 = 60
    3. 60 + 51 = 111
    Ergebnis:
    111
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 18 + 351 + 82 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    1835182
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 82 + 351
    2. 18 + 82 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 351 = 451
    Ergebnis:
    451

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 84 = 50 + ___
4884
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 84 um 2 kleiner werden: 84 − 2 = 82
  3. 50 + 82 = 132
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 84 um 2 kleiner werden: 84 − 2 = 82
  3. 50 + 82 = 132
Ergebnis:
82

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Emma rechnet 49 + 44 als 50 + 44. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    4944
    So fängst du an:
    Emma hat 49 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 44 = 94.
    3. 1 wieder abziehen: 94 − 1 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●5
    Can rechnet 69 + 53 als 70 + 53. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    6953
    Lösung zeigen
    1. Can hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 53 = 123.
    3. 1 wieder abziehen: 123 − 1 = 122
    Ergebnis:
    122
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1999 + 783 = 2000 + ___
    1999783
    Lösung zeigen
    1. 1999 wird zu 2000: 1 mehr.
    2. Also muss 783 um 1 kleiner werden: 783 − 1 = 782
    3. 2000 + 782 = 2782
    Ergebnis:
    782

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 22
Schritt für Schritt
  1. 22 = 20 + 2
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 2 = 6
  3. 60 + 6 = 66
  1. 22 = 20 + 2
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 2 = 6
  3. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Hefte mit je 59 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 7 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 9 = 63
    4. 350 + 63 = 413
    Ergebnis:
    413 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
    3. 120 − 6 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★9
    Es gibt 8 Reihen mit je 92 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 92
    2. 92 = 90 + 2
    3. 8 · 90 = 720 und 8 · 2 = 16
    4. 720 + 16 = 736
    Ergebnis:
    736 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

288 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 288 : 8
  2. 288 = 240 + 48
  3. 240 : 8 = 30 und 48 : 8 = 6
  4. 30 + 6 = 36
  1. 288 : 8
  2. 288 = 240 + 48
  3. 240 : 8 = 30 und 48 : 8 = 6
  4. 30 + 6 = 36
Ergebnis:
36 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    85 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    85 : 5
    Lösung zeigen
    1. 85 : 5
    2. 85 = 50 + 35
    3. 50 : 5 = 10 und 35 : 5 = 7
    4. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 210 : 5
    Lösung zeigen
    1. 210 = 200 + 10
    2. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
    3. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 216 : 6
    Lösung zeigen
    1. 216 = 180 + 36
    2. 180 : 6 = 30 und 36 : 6 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 68 − 32 = ___ − 34
Schritt für Schritt
  1. 32 wird zu 34: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 2 größer.
  3. 68 + 2 = 70
  1. 32 wird zu 34: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 2 größer.
  3. 68 + 2 = 70
Ergebnis:
70

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 11 = 6 · ___
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 55 − 23 = ___ − 28
    Lösung zeigen
    1. 23 wird zu 28: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 5 größer.
    3. 55 + 5 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 18 · 6 = 9 · ___
    18 · 6=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Mia verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 57? Nenne ihn und rechne.
6 · 57zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 57 = 50 + 7.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 7 = 42
  3. Zusammen: 342
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 57 = 50 + 7.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 7 = 42
  3. Zusammen: 342
Ergebnis:
zerlegen, 342

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 277 + 497? Nenne ihn und rechne.
    277 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 277 + 497 = 274 + 500
    3. 274 + 500 = 774
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 774
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 4 · 49? Nenne ihn und rechne.
    4 · 49zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 9 = 36
    3. Zusammen: 196
    Ergebnis:
    zerlegen, 196
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8 · 59? Nenne ihn und rechne.
    8 · 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 9 = 72
    3. Zusammen: 472
    Ergebnis:
    zerlegen, 472

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 821 − 379 und erhält 462. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 462 + 379 = 841
  2. 841 ist nicht 821: Es ist falsch.
  3. 821 − 379 = 442
  1. Umkehraufgabe: 462 + 379 = 841
  2. 841 ist nicht 821: Es ist falsch.
  3. 821 − 379 = 442
Ergebnis:
falsch, richtig ist 442

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 422 − 124 und erhält 318. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 318 + 124 = 442
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 318 + 124 = 442
    2. 442 ist nicht 422: Es ist falsch.
    3. 422 − 124 = 298
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 298
  2. ●23
    Hanna erhält für 64 · 24 das Ergebnis 1436. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
    2. 1436 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 64 · 24 = 1536
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1536
  3. ★24
    Mia erhält für 282 · 22 das Ergebnis 6404. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 6404 liegt zu weit weg. Genau: 282 · 22 = 6204
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6204

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 5 + 66 + 35
    56635
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 35 + 66
    2. 5 + 35 = 40
    3. 40 + 66 = 106
    Ergebnis:
    106
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 7 · 2 · 50 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    7250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 7
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700
  3. ●27
    Ben rechnet 37 + 84 als 40 + 84. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    3784
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 84 = 124.
    3. 3 wieder abziehen: 124 − 3 = 121
    Ergebnis:
    121
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 218 − 198 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 218 um 2 größer: 220.
    3. 220 − 200 = 20
    Ergebnis:
    220
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  6. ●30
    Ben rechnet 3 · 18 so: erst 3 · 10, dann 8 dazu. Ben erhält 38. Zeige am Bild, was fehlt.
    1083
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Elias rechnet 37 + 41 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    37413
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 45
    4745
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 486 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 486 : 9?
    486: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 15 = 3 · ___
    6 · 15=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 165 : 5 und erhält 43. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    165 : 5Ergebnis 43?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 33

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 122
  2. 111
  3. 451
  4. 93
  5. 122
  6. 782
  7. 413 Hefte
  8. 114
  9. 736 Stühle
  10. 17 Sticker
  11. 42
  12. 36
  13. 22
  14. 60
  15. 12
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 3000
  19. gegensinnig verändern, 774
  20. zerlegen, 196
  21. zerlegen, 472
  22. falsch, richtig ist 298
  23. falsch, richtig ist 1536
  24. falsch, richtig ist 6204
  25. 106
  26. 700
  27. 121
  28. 220
  29. 76
  30. 54
  31. 81
  32. 92
  33. 75
  34. 54
  35. 30
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 33
  39. 14
  40. 90
  41. 23
  42. 33