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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 4 + 4 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Rechne: (7 + 7) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 7 = 14
    2. 14 · 6 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 6 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 6 = 36
    2. 4 + 36 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 16 und erhalte 23. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 34 + 29 + 16
342916
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 34 + 16 + 29
  2. 34 + 16 = 50
  3. 50 + 29 = 79
  1. Vertauschen: 34 + 16 + 29
  2. 34 + 16 = 50
  3. 50 + 29 = 79
Ergebnis:
79

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 87 + 25 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    872513
    So fängst du an:
    Vertauschen: 87 + 13 + 25
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 87 + 13 + 25
    2. 87 + 13 = 100
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●2
    Rechne geschickt: 88 + 31 + 12
    883112
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 88 + 12 + 31
    2. 88 + 12 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    131
  3. ★3
    Lina rechnet 171 + 446 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    17144629
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 171 + 29 + 446
    2. 171 + 29 = 200
    3. 200 + 446 = 646
    Ergebnis:
    646

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 52 = 100 + ___
9952
Schritt für Schritt
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 52 um 1 kleiner werden: 52 − 1 = 51
  3. 100 + 51 = 151
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 52 um 1 kleiner werden: 52 − 1 = 51
  3. 100 + 51 = 151
Ergebnis:
51

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 65 = 100 + ___
    9865
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 65 um 2 kleiner werden: 65 − 2 = 63
    3. 100 + 63 = 163
    Ergebnis:
    63
  2. ●5
    Zeynep rechnet 37 + 94 als 40 + 94. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    3794
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 94 = 134.
    3. 3 wieder abziehen: 134 − 3 = 131
    Ergebnis:
    131
  3. ★6
    Can rechnet 696 + 487 als 700 + 487. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    696487
    Lösung zeigen
    1. Can hat 696 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 700 + 487 = 1187.
    3. 4 wieder abziehen: 1187 − 4 = 1183
    Ergebnis:
    1183

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 10 + 9
  2. 5 · 10 = 50 und 5 · 9 = 45
  3. 50 + 45 = 95
  1. 19 = 10 + 9
  2. 5 · 10 = 50 und 5 · 9 = 45
  3. 50 + 45 = 95
Ergebnis:
95

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 58
    Lösung zeigen
    1. 58 = 50 + 8
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 8 = 56
    3. 350 + 56 = 406
    Ergebnis:
    406
  3. ★9
    Es gibt 7 Hefte mit je 86 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 86
    2. 86 = 80 + 6
    3. 7 · 80 = 560 und 7 · 6 = 42
    4. 560 + 42 = 602
    Ergebnis:
    602 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

115 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 115 : 5
  2. 115 = 100 + 15
  3. 100 : 5 = 20 und 15 : 5 = 3
  4. 20 + 3 = 23
  1. 115 : 5
  2. 115 = 100 + 15
  3. 100 : 5 = 20 und 15 : 5 = 3
  4. 20 + 3 = 23
Ergebnis:
23 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 520 : 8
    So fängst du an:
    520 = 480 + 40
    Lösung zeigen
    1. 520 = 480 + 40
    2. 480 : 8 = 60 und 40 : 8 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 177 : 3
    Lösung zeigen
    1. 177 = 150 + 27
    2. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★12
    528 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 528 : 6
    2. 528 = 480 + 48
    3. 480 : 6 = 80 und 48 : 6 = 8
    4. 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    88 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 8 = 6 · ___
12 · 8=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 14 = 4 · ___
    8 · 14=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 13 + 13 = 11 + ___
    13 + 13=11 + ?
    Lösung zeigen
    1. 13 wird zu 11: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 13 um 2 größer.
    3. 13 + 2 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 50 − 42 = ___ − 47
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 47: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 50 um 5 größer.
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 33? Nenne ihn und rechne.
7 · 33zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 3 = 21
  3. Zusammen: 231
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 3 = 21
  3. Zusammen: 231
Ergebnis:
zerlegen, 231

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 36 + 67 + 64? Nenne ihn und rechne.
    36 + 67 + 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    vertauschen, 167
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 19 + 31 + 81? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 19 + 81 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    vertauschen, 131

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma erhält für 58 · 13 das Ergebnis 954. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 10 = 600
  2. 954 liegt zu weit weg. Genau: 58 · 13 = 754
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 10 = 600
  2. 954 liegt zu weit weg. Genau: 58 · 13 = 754
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 754

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 190 : 5 und erhält 37. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    190 : 5Ergebnis 37?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 37 · 5 = 185
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 37 · 5 = 185
    2. 185 ist nicht 190: Es ist falsch.
    3. 190 : 5 = 38
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 38
  2. ●23
    Milan erhält für 47 · 48 das Ergebnis 3256. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 50 = 2500
    2. 3256 liegt zu weit weg. Genau: 47 · 48 = 2256
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2256
  3. ★24
    Paul erhält für 231 · 14 das Ergebnis 3034. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 10 = 2000
    2. 3034 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 231 · 14 = 3234
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3234

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 84 + 46 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    148446
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 46 + 84
    2. 14 + 46 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 84 = 144
    Ergebnis:
    144
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 3 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons3 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 3
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30 Bälle
  3. ●27
    Can rechnet 67 + 85 als 70 + 85. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    6785
    Lösung zeigen
    1. Can hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 85 = 155.
    3. 3 wieder abziehen: 155 − 3 = 152
    Ergebnis:
    152
  4. ●28
    Paul rechnet 70 − 29 als 70 − 30 und erhält 40. Ist das schon das Ergebnis?
    70 − 2970 − 30
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    Nein, 41
  5. ●29
    Es gibt 9 Reihen mit je 43 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 3 = 27
    4. 360 + 27 = 387
    Ergebnis:
    387 Stühle
  6. ●30
    Elias rechnet 7 · 23 so: erst 7 · 20, dann 3 dazu. Elias erhält 143. Zeige am Bild, was fehlt.
    2037
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 7 · 3 = 21
    3. 140 + 21 = 161
    Ergebnis:
    161

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 28 + 33 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    283312
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 93 = 200 + ___
    19993
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    294

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    315 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 6 · 6 = 3 · ___
    6 · 6=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 27 + 29 + 73? Nenne ihn und rechne.
    27 + 29 + 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 129

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 476 − 258 und erhält 228. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 218

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 125
  2. 131
  3. 646
  4. 63
  5. 131
  6. 1183
  7. 245
  8. 406
  9. 602 Hefte
  10. 65
  11. 59
  12. 88 Bücher
  13. 28
  14. 15
  15. 55
  16. 200
  17. 200
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. vertauschen, 167
  21. vertauschen, 131
  22. falsch, richtig ist 38
  23. falsch, richtig ist 2256
  24. falsch, richtig ist 3234
  25. 144
  26. 30 Bälle
  27. 152
  28. Nein, 41
  29. 387 Stühle
  30. 161
  31. 73
  32. 92
  33. 294
  34. 63 Sticker
  35. 12
  36. 400
  37. vertauschen, 129
  38. falsch, richtig ist 218
  39. 8
  40. 84
  41. 40
  42. 7