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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 21 − 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 21 − 8 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●40
    Rechne: (5 + 4) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 4 = 9
    2. 9 · 7 = 63
    Ergebnis:
    63

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 4 + 16 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 79. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 24 + 61 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
246116
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 16 + 61
  2. 24 + 16 = 40
  3. 40 + 61 = 101
  1. Vertauschen: 24 + 16 + 61
  2. 24 + 16 = 40
  3. 40 + 61 = 101
Ergebnis:
101

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 44 + 24 + 56 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    442456
    So fängst du an:
    Vertauschen: 44 + 56 + 24
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 56 + 24
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●2
    Rechne geschickt: 41 + 46 + 19
    414619
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 41 + 19 + 46
    2. 41 + 19 = 60
    3. 60 + 46 = 106
    Ergebnis:
    106
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 533 + 43 + 84 + 57 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    16533438457
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 84 + 43 + 57 + 533
    2. 16 + 84 = 100 und 43 + 57 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 533 = 733
    Ergebnis:
    733

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Can rechnet 299 + 78 als 300 + 78. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
29978
Schritt für Schritt
  1. Can hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 78 = 378.
  3. 1 wieder abziehen: 378 − 1 = 377
  1. Can hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 78 = 378.
  3. 1 wieder abziehen: 378 − 1 = 377
Ergebnis:
377

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 38 + 43 als 40 + 43. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    3843
    So fängst du an:
    Aylin hat 38 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 43 = 83.
    3. 2 wieder abziehen: 83 − 2 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●5
    Lea rechnet 37 + 48 als 40 + 48. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    3748
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 48 = 88.
    3. 3 wieder abziehen: 88 − 3 = 85
    Ergebnis:
    85
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 497 + 516 = 500 + ___
    497516
    Lösung zeigen
    1. 497 wird zu 500: 3 mehr.
    2. Also muss 516 um 3 kleiner werden: 516 − 3 = 513
    3. 500 + 513 = 1013
    Ergebnis:
    513

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 17
Schritt für Schritt
  1. 17 = 10 + 7
  2. 8 · 10 = 80 und 8 · 7 = 56
  3. 80 + 56 = 136
  1. 17 = 10 + 7
  2. 8 · 10 = 80 und 8 · 7 = 56
  3. 80 + 56 = 136
Ergebnis:
136

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 23
    So fängst du an:
    23 = 20 + 3
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 3 = 15
    3. 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 28
    Lösung zeigen
    1. 28 = 20 + 8
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 8 = 72
    3. 180 + 72 = 252
    Ergebnis:
    252

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 138 : 3
Schritt für Schritt
  1. 138 = 120 + 18
  2. 120 : 3 = 40 und 18 : 3 = 6
  3. 40 + 6 = 46
  1. 138 = 120 + 18
  2. 120 : 3 = 40 und 18 : 3 = 6
  3. 40 + 6 = 46
Ergebnis:
46

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 324 : 6
    So fängst du an:
    324 = 300 + 24
    Lösung zeigen
    1. 324 = 300 + 24
    2. 300 : 6 = 50 und 24 : 6 = 4
    3. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●11
    152 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 152 : 8
    2. 152 = 80 + 72
    3. 80 : 8 = 10 und 72 : 8 = 9
    4. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19 Bücher
  3. ★12
    415 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 415 : 5
    2. 415 = 400 + 15
    3. 400 : 5 = 80 und 15 : 5 = 3
    4. 80 + 3 = 83
    Ergebnis:
    83 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 8 · 4 = 4 · ___
8 · 4=4 · ?
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 64 + 63 = 54 + ___
    64 + 63=54 + ?
    So fängst du an:
    64 wird zu 54: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 64 wird zu 54: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 10 größer.
    3. 63 + 10 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 44 + 85 = 34 + ___
    44 + 85=34 + ?
    Lösung zeigen
    1. 44 wird zu 34: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 10 größer.
    3. 85 + 10 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 9 · 41 + 9 · 8 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 9.
    2. 9 mal 41 und 9 mal 8 sind zusammen 9 mal (41 + 8).
    3. 41 + 8 = 49
    Ergebnis:
    49

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 68? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 8 = 40
    3. Zusammen: 340
    Ergebnis:
    zerlegen, 340
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 15 + 68 + 85? Nenne ihn und rechne.
    15 + 68 + 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 15 + 85 = 100
    3. 100 + 68 = 168
    Ergebnis:
    vertauschen, 168
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 39? Nenne ihn und rechne.
    5 · 39zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 9 = 45
    3. Zusammen: 195
    Ergebnis:
    zerlegen, 195

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 264 : 8 und erhält 33. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
264 : 8Ergebnis 33?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 33 · 8 = 264
  2. 264 ist genau 264: Es stimmt.
  3. 264 : 8 = 33
  1. Umkehraufgabe: 33 · 8 = 264
  2. 264 ist genau 264: Es stimmt.
  3. 264 : 8 = 33
Ergebnis:
stimmt, 33

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 352 − 204 und erhält 158. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 158 + 204 = 362
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 158 + 204 = 362
    2. 362 ist nicht 352: Es ist falsch.
    3. 352 − 204 = 148
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 148
  2. ●23
    Ben rechnet 647 − 161 und erhält 586. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 586 + 161 = 747
    2. 747 ist nicht 647: Es ist falsch.
    3. 647 − 161 = 486
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 486
  3. ★24
    Mia rechnet 3367 − 519 und erhält 2868. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2868 + 519 = 3387
    2. 3387 ist nicht 3367: Es ist falsch.
    3. 3367 − 519 = 2848
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2848

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 23 + 26 + 77
    232677
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 77 + 26
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 26 = 126
    Ergebnis:
    126
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Packungen17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 17
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 95
    9795
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 95 gibt 3 ab.
    2. 97 + 95 = 100 + 92
    3. 100 + 92 = 192
    Ergebnis:
    192
  4. ●28
    Emma rechnet 112 − 98 als 112 − 100 und erhält 12. Ist das schon das Ergebnis?
    112 − 98112 − 100
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 12 + 2 = 14
    Ergebnis:
    Nein, 14
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  6. ●30
    Elias rechnet 4 · 12 so: erst 4 · 10, dann 2 dazu. Elias erhält 42. Zeige am Bild, was fehlt.
    1024
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 4 · 2 = 8
    3. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 42 + 24 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    64224
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 78 = 40 + ___
    3778
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Reihen mit je 29 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    145 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 144 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 144 : 8?
    144: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 4 = 3 · ___
    6 · 4=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 45 + 55 + 55? Nenne ihn und rechne.
    45 + 55 + 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 155

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah erhält für 85 · 47 das Ergebnis 3995. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 3995

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 124
  2. 106
  3. 733
  4. 81
  5. 85
  6. 513
  7. 115
  8. 171
  9. 252
  10. 54
  11. 19 Bücher
  12. 83 Bücher
  13. 73
  14. 95
  15. 49
  16. 70
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. zerlegen, 340
  20. vertauschen, 168
  21. zerlegen, 195
  22. falsch, richtig ist 148
  23. falsch, richtig ist 486
  24. falsch, richtig ist 2848
  25. 126
  26. 1700 Bälle
  27. 192
  28. Nein, 14
  29. 95
  30. 48
  31. 72
  32. 75
  33. 145 Stühle
  34. 18
  35. 8
  36. 180
  37. vertauschen, 155
  38. stimmt, 3995
  39. 13
  40. 63
  41. 20
  42. 48