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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 3 + 40 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●40
    Rechne: (4 + 2) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 2 = 6
    2. 6 · 4 = 24
    Ergebnis:
    24

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 6 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 9 = 54
    2. 4 + 54 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 21 + 36 + 19 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
213619
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 21 + 19 + 36
  2. 21 + 19 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 36 = 76
  1. Vertauschen: 21 + 19 + 36
  2. 21 + 19 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 36 = 76
Ergebnis:
76

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 28 + 17 + 22 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    281722
    So fängst du an:
    Vertauschen: 28 + 22 + 17
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 22 + 17
    2. 28 + 22 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 17 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●2
    Lina rechnet 37 + 62 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    376213
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 13 + 62
    2. 37 + 13 = 50
    3. 50 + 62 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 171 + 576 + 129 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    171576129
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 171 + 129 + 576
    2. 171 + 129 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 576 = 876
    Ergebnis:
    876

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 88 = 70 + ___
6888
Schritt für Schritt
  1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
  2. Also muss 88 um 2 kleiner werden: 88 − 2 = 86
  3. 70 + 86 = 156
  1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
  2. Also muss 88 um 2 kleiner werden: 88 − 2 = 86
  3. 70 + 86 = 156
Ergebnis:
86

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Emma rechnet 299 + 83 als 300 + 83. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    29983
    So fängst du an:
    Emma hat 299 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 83 = 383.
    3. 1 wieder abziehen: 383 − 1 = 382
    Ergebnis:
    382
  2. ●5
    Aylin rechnet 298 + 57 als 300 + 57. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    29857
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 57 = 357.
    3. 2 wieder abziehen: 357 − 2 = 355
    Ergebnis:
    355
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 504 = 2000 + ___
    1997504
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 504 um 3 kleiner werden: 504 − 3 = 501
    3. 2000 + 501 = 2501
    Ergebnis:
    501

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 18
Schritt für Schritt
  1. 18 = 10 + 8
  2. 6 · 10 = 60 und 6 · 8 = 48
  3. 60 + 48 = 108
  1. 18 = 10 + 8
  2. 6 · 10 = 60 und 6 · 8 = 48
  3. 60 + 48 = 108
Ergebnis:
108

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 28
    So fängst du an:
    28 = 20 + 8
    Lösung zeigen
    1. 28 = 20 + 8
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 8 = 48
    3. 120 + 48 = 168
    Ergebnis:
    168
  2. ●8
    Es gibt 3 Reihen mit je 33 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 33
    2. 33 = 30 + 3
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 3 = 9
    4. 90 + 9 = 99
    Ergebnis:
    99 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

396 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 396 : 6
  2. 396 = 360 + 36
  3. 360 : 6 = 60 und 36 : 6 = 6
  4. 60 + 6 = 66
  1. 396 : 6
  2. 396 = 360 + 36
  3. 360 : 6 = 60 und 36 : 6 = 6
  4. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 217 : 7
    So fängst du an:
    217 = 210 + 7
    Lösung zeigen
    1. 217 = 210 + 7
    2. 210 : 7 = 30 und 7 : 7 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●11
    Zerlege 165 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 165 : 3?
    165: 3
    Lösung zeigen
    1. 165 = 150 + 15
    2. 150 : 3 = 50 und 15 : 3 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 282 : 3
    Lösung zeigen
    1. 282 = 270 + 12
    2. 270 : 3 = 90 und 12 : 3 = 4
    3. 90 + 4 = 94
    Ergebnis:
    94

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 4 = 2 · ___
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 84 − 46 = ___ − 51
    So fängst du an:
    46 wird zu 51: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 51: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 5 größer.
    3. 84 + 5 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 82 + 46 = 81 + ___
    82 + 46=81 + ?
    Lösung zeigen
    1. 82 wird zu 81: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 46 um 1 größer.
    3. 46 + 1 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 7 · 58 + 7 · 2 = 7 · ___
    7 · 58 + 7 · 2=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 58 und 7 mal 2 sind zusammen 7 mal (58 + 2).
    3. 58 + 2 = 60
    Ergebnis:
    60

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 133 + 399? Nenne ihn und rechne.
    133 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 133 + 399 = 132 + 400
    3. 132 + 400 = 532
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 532
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 + 27 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 27 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    vertauschen, 127

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 367 − 300 und erhält 67. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 67 + 300 = 367
  2. 367 ist genau 367: Es stimmt.
  3. 367 − 300 = 67
  1. Umkehraufgabe: 67 + 300 = 367
  2. 367 ist genau 367: Es stimmt.
  3. 367 − 300 = 67
Ergebnis:
stimmt, 67

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 428 − 267 und erhält 181. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 181 + 267 = 448
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 181 + 267 = 448
    2. 448 ist nicht 428: Es ist falsch.
    3. 428 − 267 = 161
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 161
  2. ●23
    Emma rechnet 270 : 5 und erhält 55. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    270 : 5Ergebnis 55?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 55 · 5 = 275
    2. 275 ist nicht 270: Es ist falsch.
    3. 270 : 5 = 54
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 54
  3. ★24
    Milan rechnet 7272 − 1444 und erhält 5928. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 5928 + 1444 = 7372
    2. 7372 ist nicht 7272: Es ist falsch.
    3. 7272 − 1444 = 5828
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5828

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 18 + 25 + 32
    182532
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 32 + 25
    2. 18 + 32 = 50
    3. 50 + 25 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 4 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    452
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 4
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 38
    19738
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 38 gibt 3 ab.
    2. 197 + 38 = 200 + 35
    3. 200 + 35 = 235
    Ergebnis:
    235
  4. ●28
    Can rechnet 221 − 198 als 221 − 200 und erhält 21. Ist das schon das Ergebnis?
    221 − 198221 − 200
    Lösung zeigen
    1. Can hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 21 + 2 = 23
    Ergebnis:
    Nein, 23
  5. ●29
    Es gibt 5 Tüten mit je 37 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 37
    2. 37 = 30 + 7
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 7 = 35
    4. 150 + 35 = 185
    Ergebnis:
    185 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2017
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 1 = 7
    3. Zusammen: 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    147 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 32 + 35 + 68 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    323568
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    135

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 28
    4728
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Tüten mit je 58 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    406 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 204 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 204 : 3?
    204: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    68

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 24 + 76 = 21 + ___
    24 + 76=21 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Lea verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 42 + 58 + 58? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 158

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 882 : 9 und erhält 99. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    882 : 9Ergebnis 99?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 98

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 67
  2. 112
  3. 876
  4. 382
  5. 355
  6. 501
  7. 168
  8. 99 Stühle
  9. 196
  10. 31
  11. 55
  12. 94
  13. 89
  14. 47
  15. 60
  16. 70
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. gegensinnig verändern, 532
  21. vertauschen, 127
  22. falsch, richtig ist 161
  23. falsch, richtig ist 54
  24. falsch, richtig ist 5828
  25. 75
  26. 40
  27. 235
  28. Nein, 23
  29. 185 Bonbons
  30. 147 Kästchen
  31. 135
  32. 75
  33. 406 Bonbons
  34. 68
  35. 79
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. vertauschen, 158
  38. falsch, richtig ist 98
  39. 43
  40. 24
  41. 58
  42. 35