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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 5 + 8 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●40
    Rechne: (5 + 4) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 4 = 9
    2. 9 · 5 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 7 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
    2. 10 + 14 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 8 und erhalte 33. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 19 + 19 + 31
191931
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 19 + 31 + 19
  2. 19 + 31 = 50
  3. 50 + 19 = 69
  1. Vertauschen: 19 + 31 + 19
  2. 19 + 31 = 50
  3. 50 + 19 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 46 + 32 + 54 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    463254
    So fängst du an:
    Vertauschen: 46 + 54 + 32
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 46 + 54 + 32
    2. 46 + 54 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 32 = 132
    Ergebnis:
    132
  2. ●2
    Mia rechnet 17 + 72 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    177223
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 23 + 72
    2. 17 + 23 = 40
    3. 40 + 72 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★3
    Rechne geschickt: 157 + 427 + 43
    15742743
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 157 + 43 + 427
    2. 157 + 43 = 200
    3. 200 + 427 = 627
    Ergebnis:
    627

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 29
29829
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 29 gibt 2 ab.
  2. 298 + 29 = 300 + 27
  3. 300 + 27 = 327
  1. 298 bekommt 2 dazu, 29 gibt 2 ab.
  2. 298 + 29 = 300 + 27
  3. 300 + 27 = 327
Ergebnis:
327

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 68 = 200 + ___
    19768
    So fängst du an:
    197 wird zu 200: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 68 um 3 kleiner werden: 68 − 3 = 65
    3. 200 + 65 = 265
    Ergebnis:
    65
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 37
    29737
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 37 gibt 3 ab.
    2. 297 + 37 = 300 + 34
    3. 300 + 34 = 334
    Ergebnis:
    334
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 398 + 167
    398167
    Lösung zeigen
    1. 398 bekommt 2 dazu, 167 gibt 2 ab.
    2. 398 + 167 = 400 + 165
    3. 400 + 165 = 565
    Ergebnis:
    565

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
Ergebnis:
472

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 53
    So fängst du an:
    53 = 50 + 3
    Lösung zeigen
    1. 53 = 50 + 3
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 3 = 9
    3. 150 + 9 = 159
    Ergebnis:
    159
  2. ●8
    Es gibt 6 Tüten mit je 53 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 53
    2. 53 = 50 + 3
    3. 6 · 50 = 300 und 6 · 3 = 18
    4. 300 + 18 = 318
    Ergebnis:
    318 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 8 Tüten mit je 55 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 55
    2. 55 = 50 + 5
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 5 = 40
    4. 400 + 40 = 440
    Ergebnis:
    440 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 285 : 5
Schritt für Schritt
  1. 285 = 250 + 35
  2. 250 : 5 = 50 und 35 : 5 = 7
  3. 50 + 7 = 57
  1. 285 = 250 + 35
  2. 250 : 5 = 50 und 35 : 5 = 7
  3. 50 + 7 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 387 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 387 : 9?
    387: 9
    So fängst du an:
    387 = 360 + 27
    Lösung zeigen
    1. 387 = 360 + 27
    2. 360 : 9 = 40 und 27 : 9 = 3
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●11
    441 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 441 : 9
    2. 441 = 360 + 81
    3. 360 : 9 = 40 und 81 : 9 = 9
    4. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 284 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 284 : 4?
    284: 4
    Lösung zeigen
    1. 284 = 280 + 4
    2. 280 : 4 = 70 und 4 : 4 = 1
    3. 70 + 1 = 71
    Ergebnis:
    71

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 55 − 21 = ___ − 31
Schritt für Schritt
  1. 21 wird zu 31: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 10 größer.
  3. 55 + 10 = 65
  1. 21 wird zu 31: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 10 größer.
  3. 55 + 10 = 65
Ergebnis:
65

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 12 · 10 = 6 · ___
    12 · 10=6 · ?
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 15 + 77 = 25 + ___
    Lösung zeigen
    1. 15 wird zu 25: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 77 um 10 kleiner.
    3. 77 − 10 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 80 + 85 = 77 + ___
    Lösung zeigen
    1. 80 wird zu 77: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 3 größer.
    3. 85 + 3 = 88
    Ergebnis:
    88

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    So fängst du an:
    12 · 15 = 6 · 30
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Lea verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 39? Nenne ihn und rechne.
6 · 39zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 9 = 54
  3. Zusammen: 234
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 9 = 54
  3. Zusammen: 234
Ergebnis:
zerlegen, 234

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 28? Nenne ihn und rechne.
    8 · 28zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 8 = 64
    3. Zusammen: 224
    Ergebnis:
    zerlegen, 224
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 6045 − 2051? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6045 − 2051 = 3994
    Ergebnis:
    schriftlich, 3994

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 839 − 504 und erhält 325. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 325 + 504 = 829
  2. 829 ist nicht 839: Es ist falsch.
  3. 839 − 504 = 335
  1. Umkehraufgabe: 325 + 504 = 829
  2. 829 ist nicht 839: Es ist falsch.
  3. 839 − 504 = 335
Ergebnis:
falsch, richtig ist 335

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 213 : 3 und erhält 73. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    213 : 3Ergebnis 73?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 73 · 3 = 219
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 73 · 3 = 219
    2. 219 ist nicht 213: Es ist falsch.
    3. 213 : 3 = 71
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 71
  2. ●23
    Aylin erhält für 81 · 48 das Ergebnis 3688. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
    2. 3688 liegt zu weit weg. Genau: 81 · 48 = 3888
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3888
  3. ★24
    Hanna rechnet 1252 : 4 und erhält 323. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1252 : 4Ergebnis 323?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 323 · 4 = 1292
    2. 1292 ist nicht 1252: Es ist falsch.
    3. 1252 : 4 = 313
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 313

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 9 + 86 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    98621
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 21 + 86
    2. 9 + 21 = 30
    3. 30 + 86 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 5 · 4
    2554
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 5
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 74 = 50 + ___
    4974
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 74 um 1 kleiner werden: 74 − 1 = 73
    3. 50 + 73 = 123
    Ergebnis:
    73
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 52 − 39
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 52 − 39 = 53 − 40
    3. 53 − 40 = 13
    Ergebnis:
    13
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 21
    Lösung zeigen
    1. 21 = 20 + 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 + 4 = 84
    Ergebnis:
    84
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 24 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2047
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 4 = 28
    3. Zusammen: 140 + 28 = 168
    Ergebnis:
    168 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 45 + 72 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    457215
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    132

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 42 = 50 + ___
    4942
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 56
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    448

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    318 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 76 + 36 = 86 + ___
    76 + 36=86 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 80? Nenne ihn und rechne.
    4 · 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 320

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 432 − 120 und erhält 322. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 312

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 132
  2. 112
  3. 627
  4. 65
  5. 334
  6. 565
  7. 159
  8. 318 Bonbons
  9. 440 Bonbons
  10. 43
  11. 49 Bücher
  12. 71
  13. 20
  14. 67
  15. 88
  16. 180
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. zerlegen, 224
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. schriftlich, 3994
  22. falsch, richtig ist 71
  23. falsch, richtig ist 3888
  24. falsch, richtig ist 313
  25. 116
  26. 500
  27. 73
  28. 13
  29. 84
  30. 168 Kästchen
  31. 132
  32. 41
  33. 448
  34. 53 Murmeln
  35. 26
  36. 80
  37. zerlegen, 320
  38. falsch, richtig ist 312
  39. 13
  40. 45
  41. 24
  42. 25