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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 7 + 25 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●40
    Rechne: (6 + 6) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 6 = 12
    2. 12 · 9 = 108
    Ergebnis:
    108

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 6 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 3 = 18
    2. 5 + 18 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 31. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lina rechnet 16 + 67 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
16674
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 67
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 67 = 87
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 67
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 67 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 31 + 46 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    143146
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 46 + 31
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 46 + 31
    2. 14 + 46 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 31 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●2
    Rechne geschickt: 4 + 13 + 26
    41326
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 13
    2. 4 + 26 = 30
    3. 30 + 13 = 43
    Ergebnis:
    43
  3. ★3
    Rechne geschickt: 86 + 789 + 16 + 114 + 84
    867891611484
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 86 + 114 + 16 + 84 + 789
    2. 86 + 114 = 200 und 16 + 84 = 100
    3. 200 + 100 + 789 = 1089
    Ergebnis:
    1089

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Emma rechnet 69 + 93 als 70 + 93. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
6993
Schritt für Schritt
  1. Emma hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 93 = 163.
  3. 1 wieder abziehen: 163 − 1 = 162
  1. Emma hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 93 = 163.
  3. 1 wieder abziehen: 163 − 1 = 162
Ergebnis:
162

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 63
    9963
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 63 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 63 gibt 1 ab.
    2. 99 + 63 = 100 + 62
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    162
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 77 = 70 + ___
    6777
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 77 um 3 kleiner werden: 77 − 3 = 74
    3. 70 + 74 = 144
    Ergebnis:
    74
  3. ★6
    Milan rechnet 1999 + 328 als 2000 + 328. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    1999328
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 1999 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 2000 + 328 = 2328.
    3. 1 wieder abziehen: 2328 − 1 = 2327
    Ergebnis:
    2327

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Tüten mit je 62 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 62
  2. 62 = 60 + 2
  3. 7 · 60 = 420 und 7 · 2 = 14
  4. 420 + 14 = 434
  1. 7 · 62
  2. 62 = 60 + 2
  3. 7 · 60 = 420 und 7 · 2 = 14
  4. 420 + 14 = 434
Ergebnis:
434 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 39
    So fängst du an:
    39 = 30 + 9
    Lösung zeigen
    1. 39 = 30 + 9
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 9 = 27
    3. 90 + 27 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  3. ★9
    Es gibt 7 Reihen mit je 54 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 54
    2. 54 = 50 + 4
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
    4. 350 + 28 = 378
    Ergebnis:
    378 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 252 : 4
Schritt für Schritt
  1. 252 = 240 + 12
  2. 240 : 4 = 60 und 12 : 4 = 3
  3. 60 + 3 = 63
  1. 252 = 240 + 12
  2. 240 : 4 = 60 und 12 : 4 = 3
  3. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 315 : 7
    So fängst du an:
    315 = 280 + 35
    Lösung zeigen
    1. 315 = 280 + 35
    2. 280 : 7 = 40 und 35 : 7 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●11
    567 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 567 : 9
    2. 567 = 540 + 27
    3. 540 : 9 = 60 und 27 : 9 = 3
    4. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63 Sticker
  3. ★12
    Zerlege 306 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 306 : 9?
    306: 9
    Lösung zeigen
    1. 306 = 270 + 36
    2. 270 : 9 = 30 und 36 : 9 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 − 53 = ___ − 55
Schritt für Schritt
  1. 53 wird zu 55: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 2 größer.
  3. 66 + 2 = 68
  1. 53 wird zu 55: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 2 größer.
  3. 66 + 2 = 68
Ergebnis:
68

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 9 = 8 · ___
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 42 − 21 = ___ − 23
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 23: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 42 um 2 größer.
    3. 42 + 2 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 12 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 58? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 8 = 72
    3. Zusammen: 522
    Ergebnis:
    zerlegen, 522
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 385 : 7 und erhält 57. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
385 : 7Ergebnis 57?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 57 · 7 = 399
  2. 399 ist nicht 385: Es ist falsch.
  3. 385 : 7 = 55
  1. Umkehraufgabe: 57 · 7 = 399
  2. 399 ist nicht 385: Es ist falsch.
  3. 385 : 7 = 55
Ergebnis:
falsch, richtig ist 55

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 891 : 9 und erhält 101. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    891 : 9Ergebnis 101?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 101 · 9 = 909
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 101 · 9 = 909
    2. 909 ist nicht 891: Es ist falsch.
    3. 891 : 9 = 99
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 99
  2. ●23
    Elias erhält für 62 · 43 das Ergebnis 2566. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
    2. 2566 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 62 · 43 = 2666
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2666
  3. ★24
    Mia rechnet 1675 : 5 und erhält 335. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1675 : 5Ergebnis 335?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 335 · 5 = 1675
    2. 1675 ist genau 1675: Es stimmt.
    3. 1675 : 5 = 335
    Ergebnis:
    stimmt, 335

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Noah rechnet 4 + 65 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    46526
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 65
    2. 4 + 26 = 30
    3. 30 + 65 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●26
    Rechne geschickt: 50 · 15 · 2
    50152
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 15
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 39
    9839
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
    2. 98 + 39 = 100 + 37
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    137
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 85 − 37
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 85 − 37 = 88 − 40
    3. 88 − 40 = 48
    Ergebnis:
    48
  5. ●29
    Es gibt 9 Reihen mit je 61 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 61
    2. 61 = 60 + 1
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    4. 540 + 9 = 549
    Ergebnis:
    549 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 23 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2035
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 3 = 15
    3. Zusammen: 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Jonas rechnet 24 + 11 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    24116
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 28
    9828
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    126

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    236

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 496 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 496 : 8?
    496: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 85 + 34 = 88 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 + 68 + 84? Nenne ihn und rechne.
    16 + 68 + 84zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 168

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 889 − 206 und erhält 703. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 683

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 91
  2. 43
  3. 1089
  4. 162
  5. 74
  6. 2327
  7. 117
  8. 295
  9. 378 Stühle
  10. 45
  11. 63 Sticker
  12. 34
  13. 18
  14. 44
  15. 24
  16. 210
  17. 80
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. zerlegen, 522
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 99
  23. falsch, richtig ist 2666
  24. stimmt, 335
  25. 95
  26. 1500
  27. 137
  28. 48
  29. 549 Stühle
  30. 115 Kästchen
  31. 41
  32. 126
  33. 236
  34. 62
  35. 31
  36. 80
  37. vertauschen, 168
  38. falsch, richtig ist 683
  39. 32
  40. 108
  41. 23
  42. 19