Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 45 − 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 45 − 25 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●40
    Rechne: (2 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 9 = 11
    2. 11 · 7 = 77
    Ergebnis:
    77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 12 + 20 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 73. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 34 + 44 + 6
34446
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 34 + 6 + 44
  2. 34 + 6 = 40
  3. 40 + 44 = 84
  1. Vertauschen: 34 + 6 + 44
  2. 34 + 6 = 40
  3. 40 + 44 = 84
Ergebnis:
84

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 8 + 38 + 22
    83822
    So fängst du an:
    Vertauschen: 8 + 22 + 38
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 22 + 38
    2. 8 + 22 = 30
    3. 30 + 38 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 53 + 55 + 7 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    53557
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 53 + 7 + 55
    2. 53 + 7 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 55 = 115
    Ergebnis:
    115
  3. ★3
    Jonas rechnet 22 + 822 + 78 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    2282278
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 78 + 822
    2. 22 + 78 = 100
    3. 100 + 822 = 922
    Ergebnis:
    922

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 54
4754
Schritt für Schritt
  1. 47 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
  2. 47 + 54 = 50 + 51
  3. 50 + 51 = 101
  1. 47 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
  2. 47 + 54 = 50 + 51
  3. 50 + 51 = 101
Ergebnis:
101

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Hanna rechnet 197 + 26 als 200 + 26. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    19726
    So fängst du an:
    Hanna hat 197 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 26 = 226.
    3. 3 wieder abziehen: 226 − 3 = 223
    Ergebnis:
    223
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 54 = 300 + ___
    29854
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 54 um 2 kleiner werden: 54 − 2 = 52
    3. 300 + 52 = 352
    Ergebnis:
    52
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1999 + 795 = 2000 + ___
    1999795
    Lösung zeigen
    1. 1999 wird zu 2000: 1 mehr.
    2. Also muss 795 um 1 kleiner werden: 795 − 1 = 794
    3. 2000 + 794 = 2794
    Ergebnis:
    794

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 61
Schritt für Schritt
  1. 61 = 60 + 1
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
  3. 240 + 4 = 244
  1. 61 = 60 + 1
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
  3. 240 + 4 = 244
Ergebnis:
244

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 13 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 13
    Lösung zeigen
    1. 6 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 6 · 10 = 60 und 6 · 3 = 18
    4. 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 3 Hefte mit je 28 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 28
    2. 28 = 20 + 8
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 8 = 24
    4. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 97
    Lösung zeigen
    1. 97 = 90 + 7
    2. 4 · 90 = 360 und 4 · 7 = 28
    3. 360 + 28 = 388
    Ergebnis:
    388

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 75 : 5
Schritt für Schritt
  1. 75 = 50 + 25
  2. 50 : 5 = 10 und 25 : 5 = 5
  3. 10 + 5 = 15
  1. 75 = 50 + 25
  2. 50 : 5 = 10 und 25 : 5 = 5
  3. 10 + 5 = 15
Ergebnis:
15

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 238 : 7
    So fängst du an:
    238 = 210 + 28
    Lösung zeigen
    1. 238 = 210 + 28
    2. 210 : 7 = 30 und 28 : 7 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 310 : 5
    Lösung zeigen
    1. 310 = 300 + 10
    2. 300 : 5 = 60 und 10 : 5 = 2
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★12
    Zerlege 462 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 462 : 3?
    462: 3
    Lösung zeigen
    1. 462 = 450 + 12
    2. 450 : 3 = 150 und 12 : 3 = 4
    3. 150 + 4 = 154
    Ergebnis:
    154

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 47 + 37 = 49 + ___
47 + 37=49 + ?
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 49: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 2 kleiner.
  3. 37 − 2 = 35
  1. 47 wird zu 49: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 2 kleiner.
  3. 37 − 2 = 35
Ergebnis:
35

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 11 = 8 · ___
    16 · 11=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 85 − 24 = ___ − 25
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 25: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 1 größer.
    3. 85 + 1 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 85 − 39 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 41: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 2 größer.
    3. 85 + 2 = 87
    Ergebnis:
    87

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lea verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Tom verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Aylin verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 39? Nenne ihn und rechne.
5 · 39zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 9 = 45
  3. Zusammen: 195
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 9 = 45
  3. Zusammen: 195
Ergebnis:
zerlegen, 195

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 7 · 87? Nenne ihn und rechne.
    7 · 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 87 = 80 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 87 = 80 + 7.
    2. 7 · 80 = 560 und 7 · 7 = 49
    3. Zusammen: 609
    Ergebnis:
    zerlegen, 609
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 3571 − 2738? Nenne ihn und rechne.
    3571 − 2738zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3571 − 2738 = 833
    Ergebnis:
    schriftlich, 833

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 345 − 176 und erhält 169. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 169 + 176 = 345
  2. 345 ist genau 345: Es stimmt.
  3. 345 − 176 = 169
  1. Umkehraufgabe: 169 + 176 = 345
  2. 345 ist genau 345: Es stimmt.
  3. 345 − 176 = 169
Ergebnis:
stimmt, 169

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 728 : 8 und erhält 101. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    728 : 8Ergebnis 101?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 101 · 8 = 808
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 101 · 8 = 808
    2. 808 ist nicht 728: Es ist falsch.
    3. 728 : 8 = 91
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 91
  2. ●23
    Paul rechnet 707 − 248 und erhält 449. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 449 + 248 = 697
    2. 697 ist nicht 707: Es ist falsch.
    3. 707 − 248 = 459
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 459
  3. ★24
    Can rechnet 5805 : 9 und erhält 646. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    5805 : 9Ergebnis 646?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 646 · 9 = 5814
    2. 5814 ist nicht 5805: Es ist falsch.
    3. 5805 : 9 = 645
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 645

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 4 + 77 + 26
    47726
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 77
    2. 4 + 26 = 30
    3. 30 + 77 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 7 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten7 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 7
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700 Bälle
  3. ●27
    Aylin rechnet 299 + 57 als 300 + 57. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    29957
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 57 = 357.
    3. 1 wieder abziehen: 357 − 1 = 356
    Ergebnis:
    356
  4. ●28
    Ben rechnet 142 − 49 als 142 − 50 und erhält 92. Ist das schon das Ergebnis?
    142 − 49142 − 50
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 92 + 1 = 93
    Ergebnis:
    Nein, 93
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 45
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 5 = 15
    3. 120 + 15 = 135
    Ergebnis:
    135
  6. ●30
    Noah rechnet 7 · 12 so: erst 7 · 10, dann 2 dazu. Noah erhält 72. Zeige am Bild, was fehlt.
    1027
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. 70 + 14 = 84
    Ergebnis:
    84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 26 + 26 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    262614
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 77
    6877
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    145

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    110 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 49 + 77 = 51 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Lea verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 58? Nenne ihn und rechne.
    4 · 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 232

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can erhält für 39 · 38 das Ergebnis 1582. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1482

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 68
  2. 115
  3. 922
  4. 223
  5. 52
  6. 794
  7. 78 Bonbons
  8. 84 Hefte
  9. 388
  10. 34
  11. 62
  12. 154
  13. 22
  14. 86
  15. 87
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. zerlegen, 609
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. schriftlich, 833
  22. falsch, richtig ist 91
  23. falsch, richtig ist 459
  24. falsch, richtig ist 645
  25. 107
  26. 700 Bälle
  27. 356
  28. Nein, 93
  29. 135
  30. 84
  31. 66
  32. 145
  33. 76
  34. 22 Murmeln
  35. 75
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. zerlegen, 232
  38. falsch, richtig ist 1482
  39. 20
  40. 77
  41. 32
  42. 53