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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 38 − 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 38 − 27 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●40
    Rechne: (6 + 3) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 3 = 9
    2. 9 · 6 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 4 + 30 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 56. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 13 + 14 + 37
131437
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 37 + 14
  2. 13 + 37 = 50
  3. 50 + 14 = 64
  1. Vertauschen: 13 + 37 + 14
  2. 13 + 37 = 50
  3. 50 + 14 = 64
Ergebnis:
64

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Sofia rechnet 11 + 11 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    111119
    So fängst du an:
    Vertauschen: 11 + 19 + 11
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 11
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 11 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 56 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    255615
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 15 + 56
    2. 25 + 15 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 56 = 96
    Ergebnis:
    96
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 48 + 344 + 14 + 52 + 86 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    48344145286
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 48 + 52 + 14 + 86 + 344
    2. 48 + 52 = 100 und 14 + 86 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 344 = 544
    Ergebnis:
    544

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 197 + 29 als 200 + 29. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
19729
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 29 = 229.
  3. 3 wieder abziehen: 229 − 3 = 226
  1. Noah hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 29 = 229.
  3. 3 wieder abziehen: 229 − 3 = 226
Ergebnis:
226

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 63
    3963
    So fängst du an:
    39 bekommt 1 dazu, 63 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 63 gibt 1 ab.
    2. 39 + 63 = 40 + 62
    3. 40 + 62 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●5
    Elias rechnet 197 + 25 als 200 + 25. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    19725
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 25 = 225.
    3. 3 wieder abziehen: 225 − 3 = 222
    Ergebnis:
    222
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 496 + 816 = 500 + ___
    496816
    Lösung zeigen
    1. 496 wird zu 500: 4 mehr.
    2. Also muss 816 um 4 kleiner werden: 816 − 4 = 812
    3. 500 + 812 = 1312
    Ergebnis:
    812

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Tüten mit je 32 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 32
  2. 32 = 30 + 2
  3. 4 · 30 = 120 und 4 · 2 = 8
  4. 120 + 8 = 128
  1. 4 · 32
  2. 32 = 30 + 2
  3. 4 · 30 = 120 und 4 · 2 = 8
  4. 120 + 8 = 128
Ergebnis:
128 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 29
    So fängst du an:
    29 = 20 + 9
    Lösung zeigen
    1. 29 = 20 + 9
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 9 = 54
    3. 120 + 54 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●8
    Es gibt 9 Reihen mit je 43 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 3 = 27
    4. 360 + 27 = 387
    Ergebnis:
    387 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    3. 90 − 3 = 87
    Ergebnis:
    87

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 132 : 6
Schritt für Schritt
  1. 132 = 120 + 12
  2. 120 : 6 = 20 und 12 : 6 = 2
  3. 20 + 2 = 22
  1. 132 = 120 + 12
  2. 120 : 6 = 20 und 12 : 6 = 2
  3. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 222 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 222 : 6?
    222: 6
    So fängst du an:
    222 = 180 + 42
    Lösung zeigen
    1. 222 = 180 + 42
    2. 180 : 6 = 30 und 42 : 6 = 7
    3. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●11
    612 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 612 : 9
    2. 612 = 540 + 72
    3. 540 : 9 = 60 und 72 : 9 = 8
    4. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68 Bücher
  3. ★12
    592 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 592 : 4
    2. 592 = 560 + 32
    3. 560 : 4 = 140 und 32 : 4 = 8
    4. 140 + 8 = 148
    Ergebnis:
    148 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 43 + 74 = 40 + ___
43 + 74=40 + ?
Schritt für Schritt
  1. 43 wird zu 40: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 3 größer.
  3. 74 + 3 = 77
  1. 43 wird zu 40: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 3 größer.
  3. 74 + 3 = 77
Ergebnis:
77

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 77 − 29 = ___ − 31
    So fängst du an:
    29 wird zu 31: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 31: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 77 um 2 größer.
    3. 77 + 2 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 82 − 45 = ___ − 55
    Lösung zeigen
    1. 45 wird zu 55: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 82 um 10 größer.
    3. 82 + 10 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 49 − 23 = ___ − 33
    Lösung zeigen
    1. 23 wird zu 33: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 10 größer.
    3. 49 + 10 = 59
    Ergebnis:
    59

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lea verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Milan verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 155 + 598? Nenne ihn und rechne.
155 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 155 + 598 = 153 + 600
  3. 153 + 600 = 753
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 155 + 598 = 153 + 600
  3. 153 + 600 = 753
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 753

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 7 · 76? Nenne ihn und rechne.
    7 · 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 76 = 70 + 6.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 76 = 70 + 6.
    2. 7 · 70 = 490 und 7 · 6 = 42
    3. Zusammen: 532
    Ergebnis:
    zerlegen, 532
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 22 + 74 + 78? Nenne ihn und rechne.
    22 + 74 + 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 22 + 78 = 100
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    vertauschen, 174
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 40 + 74 + 60? Nenne ihn und rechne.
    40 + 74 + 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 40 + 60 = 100
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    vertauschen, 174

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 35 · 27 das Ergebnis 1045. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 1045 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 35 · 27 = 945
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 1045 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 35 · 27 = 945
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 945

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 88 · 39 das Ergebnis 3432. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 90 · 40 = 3600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
    2. 3432 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 88 · 39 = 3432
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 3432
  2. ●23
    Milan rechnet 516 : 6 und erhält 87. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    516 : 6Ergebnis 87?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 87 · 6 = 522
    2. 522 ist nicht 516: Es ist falsch.
    3. 516 : 6 = 86
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 86
  3. ★24
    Ben rechnet 4122 : 6 und erhält 697. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4122 : 6Ergebnis 697?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 697 · 6 = 4182
    2. 4182 ist nicht 4122: Es ist falsch.
    3. 4122 : 6 = 687
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 687

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 33 + 42 + 27
    334227
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 27 + 42
    2. 33 + 27 = 60
    3. 60 + 42 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 4 · 5
    245
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 4
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 49 = 40 + ___
    3949
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 49 um 1 kleiner werden: 49 − 1 = 48
    3. 40 + 48 = 88
    Ergebnis:
    48
  4. ●28
    Milan rechnet 169 − 48 als 169 − 50 und erhält 119. Ist das schon das Ergebnis?
    169 − 48169 − 50
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 119 + 2 = 121
    Ergebnis:
    Nein, 121
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 12?
    1027
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 10 = 70
    2. Rechts: 7 · 2 = 14
    3. 7 · 12 = 70 + 14 = 84
    Ergebnis:
    7 · 10 und 7 · 2, zusammen 84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 39 + 12 + 21
    391221
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 45
    3845
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Tüten mit je 18 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    308 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 8 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 36 + 38 + 64? Nenne ihn und rechne.
    36 + 38 + 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 138

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom erhält für 46 · 36 das Ergebnis 1556. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1656

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 41
  2. 96
  3. 544
  4. 102
  5. 222
  6. 812
  7. 174
  8. 387 Stühle
  9. 87
  10. 37
  11. 68 Bücher
  12. 148 Sticker
  13. 79
  14. 92
  15. 59
  16. 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 400
  19. zerlegen, 532
  20. vertauschen, 174
  21. vertauschen, 174
  22. stimmt, 3432
  23. falsch, richtig ist 86
  24. falsch, richtig ist 687
  25. 102
  26. 40
  27. 48
  28. Nein, 121
  29. 196
  30. 7 · 10 und 7 · 2, zusammen 84
  31. 72
  32. 83
  33. 54 Bonbons
  34. 44 Sticker
  35. 16
  36. 200
  37. vertauschen, 138
  38. falsch, richtig ist 1656
  39. 11
  40. 54
  41. 34
  42. 24