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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 7 + 12 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (2 + 3) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 3 = 5
    2. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 6 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 4 = 24
    2. 9 + 24 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 72. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Milan rechnet 24 + 13 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
241336
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 13
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 13 = 73
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 13
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 13 = 73
Ergebnis:
73

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 3 + 33 + 27 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    33327
    So fängst du an:
    Vertauschen: 3 + 27 + 33
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 27 + 33
    2. 3 + 27 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 33 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 29 + 54 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    295411
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 29 + 11 + 54
    2. 29 + 11 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 54 = 94
    Ergebnis:
    94
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 73 + 806 + 59 + 27 + 41 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    73806592741
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 73 + 27 + 59 + 41 + 806
    2. 73 + 27 = 100 und 59 + 41 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 806 = 1006
    Ergebnis:
    1006

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 297 + 29 als 300 + 29. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
29729
Schritt für Schritt
  1. Aylin hat 297 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 29 = 329.
  3. 3 wieder abziehen: 329 − 3 = 326
  1. Aylin hat 297 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 29 = 329.
  3. 3 wieder abziehen: 329 − 3 = 326
Ergebnis:
326

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Noah rechnet 37 + 28 als 40 + 28. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    3728
    So fängst du an:
    Noah hat 37 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 28 = 68.
    3. 3 wieder abziehen: 68 − 3 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 76
    4776
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 76 gibt 3 ab.
    2. 47 + 76 = 50 + 73
    3. 50 + 73 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1998 + 444
    1998444
    Lösung zeigen
    1. 1998 bekommt 2 dazu, 444 gibt 2 ab.
    2. 1998 + 444 = 2000 + 442
    3. 2000 + 442 = 2442
    Ergebnis:
    2442

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Reihen mit je 63 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 63
  2. 63 = 60 + 3
  3. 5 · 60 = 300 und 5 · 3 = 15
  4. 300 + 15 = 315
  1. 5 · 63
  2. 63 = 60 + 3
  3. 5 · 60 = 300 und 5 · 3 = 15
  4. 300 + 15 = 315
Ergebnis:
315 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294
  2. ●8
    Es gibt 5 Hefte mit je 13 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 5 · 10 = 50 und 5 · 3 = 15
    4. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 74
    Lösung zeigen
    1. 74 = 70 + 4
    2. 3 · 70 = 210 und 3 · 4 = 12
    3. 210 + 12 = 222
    Ergebnis:
    222

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 273 : 7
Schritt für Schritt
  1. 273 = 210 + 63
  2. 210 : 7 = 30 und 63 : 7 = 9
  3. 30 + 9 = 39
  1. 273 = 210 + 63
  2. 210 : 7 = 30 und 63 : 7 = 9
  3. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 128 : 4
    So fängst du an:
    128 = 120 + 8
    Lösung zeigen
    1. 128 = 120 + 8
    2. 120 : 4 = 30 und 8 : 4 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●11
    384 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 384 : 8
    2. 384 = 320 + 64
    3. 320 : 8 = 40 und 64 : 8 = 8
    4. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48 Murmeln
  3. ★12
    1179 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1179 : 9
    2. 1179 = 1170 + 9
    3. 1170 : 9 = 130 und 9 : 9 = 1
    4. 130 + 1 = 131
    Ergebnis:
    131 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 82 + 56 = 79 + ___
82 + 56=79 + ?
Schritt für Schritt
  1. 82 wird zu 79: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 3 größer.
  3. 56 + 3 = 59
  1. 82 wird zu 79: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 3 größer.
  3. 56 + 3 = 59
Ergebnis:
59

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 12 = 4 · ___
    8 · 12=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 57 − 22 = ___ − 23
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 23: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 1 größer.
    3. 57 + 1 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 22 + 14 = 12 + ___
    22 + 14=12 + ?
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 12: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 10 größer.
    3. 14 + 10 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Lina verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 41 + 21 + 59? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 41 + 59 = 100
  3. 100 + 21 = 121
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 41 + 59 = 100
  3. 100 + 21 = 121
Ergebnis:
vertauschen, 121

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 47? Nenne ihn und rechne.
    6 · 47zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 47 = 40 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 47 = 40 + 7.
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 7 = 42
    3. Zusammen: 282
    Ergebnis:
    zerlegen, 282
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 13 + 68 + 87? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 68 = 168
    Ergebnis:
    vertauschen, 168
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 29 + 72 + 71? Nenne ihn und rechne.
    29 + 72 + 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 29 + 71 = 100
    3. 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    vertauschen, 172

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 871 − 299 und erhält 582. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 582 + 299 = 881
  2. 881 ist nicht 871: Es ist falsch.
  3. 871 − 299 = 572
  1. Umkehraufgabe: 582 + 299 = 881
  2. 881 ist nicht 871: Es ist falsch.
  3. 871 − 299 = 572
Ergebnis:
falsch, richtig ist 572

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can erhält für 39 · 16 das Ergebnis 424. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 20 = 800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 424 liegt zu weit weg. Genau: 39 · 16 = 624
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 624
  2. ●23
    Lina rechnet 189 : 7 und erhält 28. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    189 : 7Ergebnis 28?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 28 · 7 = 196
    2. 196 ist nicht 189: Es ist falsch.
    3. 189 : 7 = 27
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 27
  3. ★24
    Emma rechnet 3083 − 629 und erhält 2464. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2464 + 629 = 3093
    2. 3093 ist nicht 3083: Es ist falsch.
    3. 3083 − 629 = 2454
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2454

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 69 + 25 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    692531
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 69 + 31 + 25
    2. 69 + 31 = 100
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 15 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons15 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 15
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500 Bälle
  3. ●27
    Milan rechnet 197 + 24 als 200 + 24. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    19724
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 24 = 224.
    3. 3 wieder abziehen: 224 − 3 = 221
    Ergebnis:
    221
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 127 − 98 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 127 um 2 größer: 129.
    3. 129 − 100 = 29
    Ergebnis:
    129
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 42
    Lösung zeigen
    1. 42 = 40 + 2
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 2 = 12
    3. 240 + 12 = 252
    Ergebnis:
    252
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 12?
    1024
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 10 = 40
    2. Rechts: 4 · 2 = 8
    3. 4 · 12 = 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    4 · 10 und 4 · 2, zusammen 48

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 75 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    24756
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    105

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 78 = 40 + ___
    3878
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 35
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    315

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    427 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 72 + 61 = 71 + ___
    72 + 61=71 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 40 + 53 + 60? Nenne ihn und rechne.
    40 + 53 + 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 153

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 360 : 6 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    360 : 6Ergebnis 60?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 60

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 63
  2. 94
  3. 1006
  4. 65
  5. 123
  6. 2442
  7. 294
  8. 65 Hefte
  9. 222
  10. 32
  11. 48 Murmeln
  12. 131 Murmeln
  13. 24
  14. 58
  15. 24
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. zerlegen, 282
  20. vertauschen, 168
  21. vertauschen, 172
  22. falsch, richtig ist 624
  23. falsch, richtig ist 27
  24. falsch, richtig ist 2454
  25. 125
  26. 1500 Bälle
  27. 221
  28. 129
  29. 252
  30. 4 · 10 und 4 · 2, zusammen 48
  31. 105
  32. 76
  33. 315
  34. 61 Bücher
  35. 62
  36. 90
  37. vertauschen, 153
  38. stimmt, 60
  39. 19
  40. 25
  41. 33
  42. 41