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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 9 + 6 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 9 + 36 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 6 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 44 + 23 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
442316
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 44 + 16 + 23
  2. 44 + 16 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 23 = 83
  1. Vertauschen: 44 + 16 + 23
  2. 44 + 16 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 23 = 83
Ergebnis:
83

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 15 + 43 + 5
    15435
    So fängst du an:
    Vertauschen: 15 + 5 + 43
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 5 + 43
    2. 15 + 5 = 20
    3. 20 + 43 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●2
    Can rechnet 25 + 16 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    251615
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 15 + 16
    2. 25 + 15 = 40
    3. 40 + 16 = 56
    Ergebnis:
    56
  3. ★3
    Ben rechnet 79 + 842 + 37 + 221 + 63 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    798423722163
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 79 + 221 + 37 + 63 + 842
    2. 79 + 221 = 300 und 37 + 63 = 100
    3. 300 + 100 + 842 = 1242
    Ergebnis:
    1242

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 95
29795
Schritt für Schritt
  1. 297 bekommt 3 dazu, 95 gibt 3 ab.
  2. 297 + 95 = 300 + 92
  3. 300 + 92 = 392
  1. 297 bekommt 3 dazu, 95 gibt 3 ab.
  2. 297 + 95 = 300 + 92
  3. 300 + 92 = 392
Ergebnis:
392

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 27
    6727
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 27 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 27 gibt 3 ab.
    2. 67 + 27 = 70 + 24
    3. 70 + 24 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 46 = 70 + ___
    6946
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 46 um 1 kleiner werden: 46 − 1 = 45
    3. 70 + 45 = 115
    Ergebnis:
    45
  3. ★6
    Tom rechnet 1997 + 779 als 2000 + 779. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    1997779
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 1997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 2000 + 779 = 2779.
    3. 3 wieder abziehen: 2779 − 3 = 2776
    Ergebnis:
    2776

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 57
Schritt für Schritt
  1. 57 = 50 + 7
  2. 8 · 50 = 400 und 8 · 7 = 56
  3. 400 + 56 = 456
  1. 57 = 50 + 7
  2. 8 · 50 = 400 und 8 · 7 = 56
  3. 400 + 56 = 456
Ergebnis:
456

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  2. ●8
    Es gibt 6 Hefte mit je 41 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    4. 240 + 6 = 246
    Ergebnis:
    246 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 126 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 126 : 6?
126: 6
Schritt für Schritt
  1. 126 = 120 + 6
  2. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
  3. 20 + 1 = 21
  1. 126 = 120 + 6
  2. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
  3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 228 : 6
    So fängst du an:
    228 = 180 + 48
    Lösung zeigen
    1. 228 = 180 + 48
    2. 180 : 6 = 30 und 48 : 6 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 351 : 9
    Lösung zeigen
    1. 351 = 270 + 81
    2. 270 : 9 = 30 und 81 : 9 = 9
    3. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39
  3. ★12
    192 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 192 : 8
    2. 192 = 160 + 32
    3. 160 : 8 = 20 und 32 : 8 = 4
    4. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 63 − 45 = ___ − 47
Schritt für Schritt
  1. 45 wird zu 47: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 2 größer.
  3. 63 + 2 = 65
  1. 45 wird zu 47: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 63 um 2 größer.
  3. 63 + 2 = 65
Ergebnis:
65

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 94 − 83 = ___ − 93
    So fängst du an:
    83 wird zu 93: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 83 wird zu 93: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 94 um 10 größer.
    3. 94 + 10 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 55 − 15 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 15 wird zu 20: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 5 größer.
    3. 55 + 5 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 90 − 30 = ___ − 35
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 35: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 90 um 5 größer.
    3. 90 + 5 = 95
    Ergebnis:
    95

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 246 + 497? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 246 + 497 = 243 + 500
  3. 243 + 500 = 743
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 246 + 497 = 243 + 500
  3. 243 + 500 = 743
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 743

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 42 + 39 + 58? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 42 + 58 = 100
    3. 100 + 39 = 139
    Ergebnis:
    vertauschen, 139
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 4 · 78? Nenne ihn und rechne.
    4 · 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 78 = 70 + 8.
    2. 4 · 70 = 280 und 4 · 8 = 32
    3. Zusammen: 312
    Ergebnis:
    zerlegen, 312
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5613 − 2229? Nenne ihn und rechne.
    5613 − 2229zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 5613 − 2229 = 3384
    Ergebnis:
    schriftlich, 3384

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 183 : 3 und erhält 62. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
183 : 3Ergebnis 62?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 62 · 3 = 186
  2. 186 ist nicht 183: Es ist falsch.
  3. 183 : 3 = 61
  1. Umkehraufgabe: 62 · 3 = 186
  2. 186 ist nicht 183: Es ist falsch.
  3. 183 : 3 = 61
Ergebnis:
falsch, richtig ist 61

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 545 − 173 und erhält 382. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 382 + 173 = 555
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 382 + 173 = 555
    2. 555 ist nicht 545: Es ist falsch.
    3. 545 − 173 = 372
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 372
  2. ●23
    Jonas rechnet 915 − 288 und erhält 627. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 627 + 288 = 915
    2. 915 ist genau 915: Es stimmt.
    3. 915 − 288 = 627
    Ergebnis:
    stimmt, 627
  3. ★24
    Ben erhält für 409 · 17 das Ergebnis 6853. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
    2. 6853 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 409 · 17 = 6953
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6953

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 88 + 36 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    48836
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 36 + 88
    2. 4 + 36 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 88 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●26
    Rechne geschickt: 13 · 50 · 2
    13502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 13
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 37
    3737
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 37 gibt 3 ab.
    2. 37 + 37 = 40 + 34
    3. 40 + 34 = 74
    Ergebnis:
    74
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 110 − 48
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 110 − 48 = 112 − 50
    3. 112 − 50 = 62
    Ergebnis:
    62
  5. ●29
    Es gibt 9 Reihen mit je 32 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 32
    2. 32 = 30 + 2
    3. 9 · 30 = 270 und 9 · 2 = 18
    4. 270 + 18 = 288
    Ergebnis:
    288 Stühle
  6. ●30
    Ben rechnet 6 · 22 so: erst 6 · 20, dann 2 dazu. Ben erhält 122. Zeige am Bild, was fehlt.
    2026
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 6 · 2 = 12
    3. 120 + 12 = 132
    Ergebnis:
    132

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 7 + 75 + 13
    77513
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 55
    4755
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 31
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    217

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 185 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 79 − 26 = ___ − 28
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 24? Nenne ihn und rechne.
    6 · 24zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 144

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 973 − 862 und erhält 121. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 111

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 63
  2. 56
  3. 1242
  4. 94
  5. 45
  6. 2776
  7. 472
  8. 246 Hefte
  9. 413
  10. 38
  11. 39
  12. 24 Murmeln
  13. 104
  14. 60
  15. 95
  16. 80
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. vertauschen, 139
  20. zerlegen, 312
  21. schriftlich, 3384
  22. falsch, richtig ist 372
  23. stimmt, 627
  24. falsch, richtig ist 6953
  25. 128
  26. 1300
  27. 74
  28. 62
  29. 288 Stühle
  30. 132
  31. 95
  32. 102
  33. 217
  34. 37
  35. 81
  36. 200
  37. zerlegen, 144
  38. falsch, richtig ist 111
  39. 15
  40. 26
  41. 45
  42. 55