Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 6 + 24 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●40
    Rechne: (8 + 6) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 6 = 14
    2. 14 · 9 = 126
    Ergebnis:
    126

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 9 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 9 = 81
    2. 4 + 81 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 29 und erhalte 78. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Mia rechnet 3 + 34 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
33417
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 3 + 17 + 34
  2. 3 + 17 = 20
  3. 20 + 34 = 54
  1. Vertauschen: 3 + 17 + 34
  2. 3 + 17 = 20
  3. 20 + 34 = 54
Ergebnis:
54

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zeynep rechnet 28 + 41 + 72 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    284172
    So fängst du an:
    Vertauschen: 28 + 72 + 41
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 72 + 41
    2. 28 + 72 = 100
    3. 100 + 41 = 141
    Ergebnis:
    141
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 32 + 59 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    325918
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 18 + 59
    2. 32 + 18 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 59 = 109
    Ergebnis:
    109
  3. ★3
    Zeynep rechnet 296 + 411 + 44 + 704 + 56 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    2964114470456
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 296 + 704 + 44 + 56 + 411
    2. 296 + 704 = 1000 und 44 + 56 = 100
    3. 1000 + 100 + 411 = 1511
    Ergebnis:
    1511

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Mia rechnet 47 + 88 als 50 + 88. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
4788
Schritt für Schritt
  1. Mia hat 47 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 88 = 138.
  3. 3 wieder abziehen: 138 − 3 = 135
  1. Mia hat 47 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 88 = 138.
  3. 3 wieder abziehen: 138 − 3 = 135
Ergebnis:
135

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 25
    9725
    So fängst du an:
    97 bekommt 3 dazu, 25 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 25 gibt 3 ab.
    2. 97 + 25 = 100 + 22
    3. 100 + 22 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●5
    Tom rechnet 299 + 86 als 300 + 86. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    29986
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 86 = 386.
    3. 1 wieder abziehen: 386 − 1 = 385
    Ergebnis:
    385
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 996 + 299
    996299
    Lösung zeigen
    1. 996 bekommt 4 dazu, 299 gibt 4 ab.
    2. 996 + 299 = 1000 + 295
    3. 1000 + 295 = 1295
    Ergebnis:
    1295

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
  3. 540 − 9 = 531
  1. 59 = 60 − 1
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
  3. 540 − 9 = 531
Ergebnis:
531

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 69
    So fängst du an:
    69 = 60 + 9
    Lösung zeigen
    1. 69 = 60 + 9
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 9 = 54
    3. 360 + 54 = 414
    Ergebnis:
    414
  2. ●8
    Es gibt 7 Reihen mit je 59 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 9 = 63
    4. 350 + 63 = 413
    Ergebnis:
    413 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

252 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 252 : 7
  2. 252 = 210 + 42
  3. 210 : 7 = 30 und 42 : 7 = 6
  4. 30 + 6 = 36
  1. 252 : 7
  2. 252 = 210 + 42
  3. 210 : 7 = 30 und 42 : 7 = 6
  4. 30 + 6 = 36
Ergebnis:
36 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 270 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 270 : 6?
    270: 6
    So fängst du an:
    270 = 240 + 30
    Lösung zeigen
    1. 270 = 240 + 30
    2. 240 : 6 = 40 und 30 : 6 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●11
    Zerlege 196 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 196 : 4?
    196: 4
    Lösung zeigen
    1. 196 = 160 + 36
    2. 160 : 4 = 40 und 36 : 4 = 9
    3. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49
  3. ★12
    Zerlege 765 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 765 : 9?
    765: 9
    Lösung zeigen
    1. 765 = 720 + 45
    2. 720 : 9 = 80 und 45 : 9 = 5
    3. 80 + 5 = 85
    Ergebnis:
    85

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 69 − 34 = ___ − 35
Schritt für Schritt
  1. 34 wird zu 35: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 1 größer.
  3. 69 + 1 = 70
  1. 34 wird zu 35: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 1 größer.
  3. 69 + 1 = 70
Ergebnis:
70

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 61 − 16 = ___ − 18
    So fängst du an:
    16 wird zu 18: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 18: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 2 größer.
    3. 61 + 2 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 60 − 36 = ___ − 46
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 46: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 60 um 10 größer.
    3. 60 + 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 7 · 59 + 7 · 6 = 7 · ___
    7 · 59 + 7 · 6=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 59 und 7 mal 6 sind zusammen 7 mal (59 + 6).
    3. 59 + 6 = 65
    Ergebnis:
    65

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Zeynep verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 381 + 198? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 381 + 198 = 379 + 200
  3. 379 + 200 = 579
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 381 + 198 = 379 + 200
  3. 379 + 200 = 579
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 579

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 6 · 51? Nenne ihn und rechne.
    6 · 51zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 51 = 50 + 1.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 51 = 50 + 1.
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. Zusammen: 306
    Ergebnis:
    zerlegen, 306
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 40 + 58 + 60? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 40 + 60 = 100
    3. 100 + 58 = 158
    Ergebnis:
    vertauschen, 158
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 40 + 21 + 60? Nenne ihn und rechne.
    40 + 21 + 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 40 + 60 = 100
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    vertauschen, 121

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 673 − 328 und erhält 355. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 355 + 328 = 683
  2. 683 ist nicht 673: Es ist falsch.
  3. 673 − 328 = 345
  1. Umkehraufgabe: 355 + 328 = 683
  2. 683 ist nicht 673: Es ist falsch.
  3. 673 − 328 = 345
Ergebnis:
falsch, richtig ist 345

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 404 − 213 und erhält 201. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 201 + 213 = 414
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 201 + 213 = 414
    2. 414 ist nicht 404: Es ist falsch.
    3. 404 − 213 = 191
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 191
  2. ●23
    Mia erhält für 82 · 24 das Ergebnis 1968. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 1968 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 24 = 1968
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1968
  3. ★24
    Aylin rechnet 1540 : 4 und erhält 384. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1540 : 4Ergebnis 384?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 384 · 4 = 1536
    2. 1536 ist nicht 1540: Es ist falsch.
    3. 1540 : 4 = 385
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 385

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Can rechnet 4 + 74 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    47426
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 74
    2. 4 + 26 = 30
    3. 30 + 74 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 25 · 14 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    25144
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 14
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 89
    9989
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 89 gibt 1 ab.
    2. 99 + 89 = 100 + 88
    3. 100 + 88 = 188
    Ergebnis:
    188
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 138 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 138 um 3 größer: 141.
    3. 141 − 100 = 41
    Ergebnis:
    141
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 40 + 9
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 9 = 81
    3. 360 + 81 = 441
    Ergebnis:
    441
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 22 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2027
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. Zusammen: 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    154 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 29 + 47 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    294711
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 64
    4864
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 13
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    120 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 8 · 3 = 4 · ___
    8 · 3=4 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 38? Nenne ihn und rechne.
    8 · 38zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 304

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 55 · 29 das Ergebnis 1695. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1595

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 141
  2. 109
  3. 1511
  4. 122
  5. 385
  6. 1295
  7. 414
  8. 413 Stühle
  9. 171
  10. 45
  11. 49
  12. 85
  13. 63
  14. 70
  15. 65
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
  19. zerlegen, 306
  20. vertauschen, 158
  21. vertauschen, 121
  22. falsch, richtig ist 191
  23. stimmt, 1968
  24. falsch, richtig ist 385
  25. 104
  26. 1400
  27. 188
  28. 141
  29. 441
  30. 154 Kästchen
  31. 87
  32. 112
  33. 52
  34. 15 Bücher
  35. 6
  36. 400
  37. zerlegen, 304
  38. falsch, richtig ist 1595
  39. 30
  40. 126
  41. 85
  42. 49