Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 2 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 6 = 12
    2. 5 + 12 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 11 + 32 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Mia rechnet 41 + 52 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
415219
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 41 + 19 + 52
  2. 41 + 19 = 60
  3. 60 + 52 = 112
  1. Vertauschen: 41 + 19 + 52
  2. 41 + 19 = 60
  3. 60 + 52 = 112
Ergebnis:
112

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ben rechnet 83 + 59 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    835917
    So fängst du an:
    Vertauschen: 83 + 17 + 59
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 83 + 17 + 59
    2. 83 + 17 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    159
  2. ●2
    Jonas rechnet 25 + 82 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    25825
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 5 + 82
    2. 25 + 5 = 30
    3. 30 + 82 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★3
    Zeynep rechnet 774 + 744 + 226 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    774744226
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 774 + 226 + 744
    2. 774 + 226 = 1000
    3. 1000 + 744 = 1744
    Ergebnis:
    1744

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Sofia rechnet 297 + 74 als 300 + 74. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
29774
Schritt für Schritt
  1. Sofia hat 297 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 74 = 374.
  3. 3 wieder abziehen: 374 − 3 = 371
  1. Sofia hat 297 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 74 = 374.
  3. 3 wieder abziehen: 374 − 3 = 371
Ergebnis:
371

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 85
    6785
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 85 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 85 gibt 3 ab.
    2. 67 + 85 = 70 + 82
    3. 70 + 82 = 152
    Ergebnis:
    152
  2. ●5
    Can rechnet 97 + 75 als 100 + 75. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    9775
    Lösung zeigen
    1. Can hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 75 = 175.
    3. 3 wieder abziehen: 175 − 3 = 172
    Ergebnis:
    172
  3. ★6
    Mia rechnet 397 + 866 als 400 + 866. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    397866
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 397 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 400 + 866 = 1266.
    3. 3 wieder abziehen: 1266 − 3 = 1263
    Ergebnis:
    1263

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
  3. 240 − 8 = 232
  1. 29 = 30 − 1
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
  3. 240 − 8 = 232
Ergebnis:
232

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●8
    Es gibt 7 Reihen mit je 18 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 18
    2. 18 = 10 + 8
    3. 7 · 10 = 70 und 7 · 8 = 56
    4. 70 + 56 = 126
    Ergebnis:
    126 Stühle
  3. ★9
    Es gibt 8 Hefte mit je 89 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 89
    2. 89 = 80 + 9
    3. 8 · 80 = 640 und 8 · 9 = 72
    4. 640 + 72 = 712
    Ergebnis:
    712 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 260 : 4
Schritt für Schritt
  1. 260 = 240 + 20
  2. 240 : 4 = 60 und 20 : 4 = 5
  3. 60 + 5 = 65
  1. 260 = 240 + 20
  2. 240 : 4 = 60 und 20 : 4 = 5
  3. 60 + 5 = 65
Ergebnis:
65

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 427 : 7
    So fängst du an:
    427 = 420 + 7
    Lösung zeigen
    1. 427 = 420 + 7
    2. 420 : 7 = 60 und 7 : 7 = 1
    3. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●11
    371 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 371 : 7
    2. 371 = 350 + 21
    3. 350 : 7 = 50 und 21 : 7 = 3
    4. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 483 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 483 : 3?
    483: 3
    Lösung zeigen
    1. 483 = 480 + 3
    2. 480 : 3 = 160 und 3 : 3 = 1
    3. 160 + 1 = 161
    Ergebnis:
    161

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 4 = 9 · ___
18 · 4=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 62 + 20 = 52 + ___
    62 + 20=52 + ?
    So fängst du an:
    62 wird zu 52: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 62 wird zu 52: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 20 um 10 größer.
    3. 20 + 10 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 54 − 38 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 43: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 5 größer.
    3. 54 + 5 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 3 · 29 + 3 · 4 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 3.
    2. 3 mal 29 und 3 mal 4 sind zusammen 3 mal (29 + 4).
    3. 29 + 4 = 33
    Ergebnis:
    33

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Zeynep verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 41 + 49 + 59? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 41 + 59 = 100
  3. 100 + 49 = 149
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 41 + 59 = 100
  3. 100 + 49 = 149
Ergebnis:
vertauschen, 149

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 47 + 25 + 53? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 47 + 53 = 100
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    vertauschen, 125
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 314 + 299? Nenne ihn und rechne.
    314 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 314 + 299 = 313 + 300
    3. 313 + 300 = 613
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 613
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5621 − 2486? Nenne ihn und rechne.
    5621 − 2486zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 5621 − 2486 = 3135
    Ergebnis:
    schriftlich, 3135

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 810 : 9 und erhält 92. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
810 : 9Ergebnis 92?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 92 · 9 = 828
  2. 828 ist nicht 810: Es ist falsch.
  3. 810 : 9 = 90
  1. Umkehraufgabe: 92 · 9 = 828
  2. 828 ist nicht 810: Es ist falsch.
  3. 810 : 9 = 90
Ergebnis:
falsch, richtig ist 90

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 84 : 3 und erhält 29. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    84 : 3Ergebnis 29?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 29 · 3 = 87
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 29 · 3 = 87
    2. 87 ist nicht 84: Es ist falsch.
    3. 84 : 3 = 28
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 28
  2. ●23
    Mia erhält für 47 · 27 das Ergebnis 2269. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
    2. 2269 liegt zu weit weg. Genau: 47 · 27 = 1269
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1269
  3. ★24
    Hanna rechnet 5526 : 9 und erhält 624. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    5526 : 9Ergebnis 624?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 624 · 9 = 5616
    2. 5616 ist nicht 5526: Es ist falsch.
    3. 5526 : 9 = 614
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 614

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 35 + 27 + 5
    35275
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 5 + 27
    2. 35 + 5 = 40
    3. 40 + 27 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 4 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Packungen4 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 4
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 56
    9856
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 56 gibt 2 ab.
    2. 98 + 56 = 100 + 54
    3. 100 + 54 = 154
    Ergebnis:
    154
  4. ●28
    Noah rechnet 151 − 29 als 151 − 30 und erhält 121. Ist das schon das Ergebnis?
    151 − 29151 − 30
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 121 + 1 = 122
    Ergebnis:
    Nein, 122
  5. ●29
    Es gibt 3 Reihen mit je 53 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 53
    2. 53 = 50 + 3
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 3 = 9
    4. 150 + 9 = 159
    Ergebnis:
    159 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1095
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 10 = 50
    2. Rechter Teil: 5 · 9 = 45
    3. Zusammen: 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    95 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lina rechnet 85 + 34 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    853415
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    134

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Jonas rechnet 67 + 35 als 70 + 35. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    6735
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 36
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    144

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    234 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 10 = 9 · ___
    18 · 10=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 5 · 21? Nenne ihn und rechne.
    5 · 21zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 105

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 434 : 7 und erhält 64. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    434 : 7Ergebnis 64?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 62

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 159
  2. 112
  3. 1744
  4. 152
  5. 172
  6. 1263
  7. 76
  8. 126 Stühle
  9. 712 Hefte
  10. 61
  11. 53 Bücher
  12. 161
  13. 30
  14. 59
  15. 33
  16. 400
  17. 90
  18. 900
  19. vertauschen, 125
  20. gegensinnig verändern, 613
  21. schriftlich, 3135
  22. falsch, richtig ist 28
  23. falsch, richtig ist 1269
  24. falsch, richtig ist 614
  25. 67
  26. 40 Bälle
  27. 154
  28. Nein, 122
  29. 159 Stühle
  30. 95 Kästchen
  31. 134
  32. 102
  33. 144
  34. 39 Sticker
  35. 20
  36. 180
  37. zerlegen, 105
  38. falsch, richtig ist 62
  39. 17
  40. 50
  41. 43
  42. 39