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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 4 + 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (5 + 7) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 7 = 12
    2. 12 · 3 = 36
    Ergebnis:
    36

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 12 + 16 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 29 + 23 + 31 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
292331
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 29 + 31 + 23
  2. 29 + 31 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 23 = 83
  1. Vertauschen: 29 + 31 + 23
  2. 29 + 31 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 23 = 83
Ergebnis:
83

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 81 + 13 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    78113
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 13 + 81
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 81
    2. 7 + 13 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 81 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●2
    Rechne geschickt: 12 + 75 + 18
    127518
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 75
    2. 12 + 18 = 30
    3. 30 + 75 = 105
    Ergebnis:
    105
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 21 + 156 + 51 + 179 + 49 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    211565117949
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 179 + 51 + 49 + 156
    2. 21 + 179 = 200 und 51 + 49 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 100 + 156 = 456
    Ergebnis:
    456

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 83 = 100 + ___
9883
Schritt für Schritt
  1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
  2. Also muss 83 um 2 kleiner werden: 83 − 2 = 81
  3. 100 + 81 = 181
  1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
  2. Also muss 83 um 2 kleiner werden: 83 − 2 = 81
  3. 100 + 81 = 181
Ergebnis:
81

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 55 = 200 + ___
    19855
    So fängst du an:
    198 wird zu 200: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 55 um 2 kleiner werden: 55 − 2 = 53
    3. 200 + 53 = 253
    Ergebnis:
    53
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 38 = 40 + ___
    3938
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 38 um 1 kleiner werden: 38 − 1 = 37
    3. 40 + 37 = 77
    Ergebnis:
    37
  3. ★6
    Aylin rechnet 1998 + 926 als 2000 + 926. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    1998926
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 1998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 2000 + 926 = 2926.
    3. 2 wieder abziehen: 2926 − 2 = 2924
    Ergebnis:
    2924

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 17
Schritt für Schritt
  1. 17 = 10 + 7
  2. 7 · 10 = 70 und 7 · 7 = 49
  3. 70 + 49 = 119
  1. 17 = 10 + 7
  2. 7 · 10 = 70 und 7 · 7 = 49
  3. 70 + 49 = 119
Ergebnis:
119

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
    3. 210 − 7 = 203
    Ergebnis:
    203
  2. ●8
    Es gibt 9 Hefte mit je 42 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 42
    2. 42 = 40 + 2
    3. 9 · 40 = 360 und 9 · 2 = 18
    4. 360 + 18 = 378
    Ergebnis:
    378 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 98
    Lösung zeigen
    1. 98 = 100 − 2
    2. 4 · 100 = 400 und 4 · 2 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

294 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 294 : 6
  2. 294 = 240 + 54
  3. 240 : 6 = 40 und 54 : 6 = 9
  4. 40 + 9 = 49
  1. 294 : 6
  2. 294 = 240 + 54
  3. 240 : 6 = 40 und 54 : 6 = 9
  4. 40 + 9 = 49
Ergebnis:
49 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 126 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 126 : 6?
    126: 6
    So fängst du an:
    126 = 120 + 6
    Lösung zeigen
    1. 126 = 120 + 6
    2. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
    3. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●11
    Zerlege 576 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 576 : 9?
    576: 9
    Lösung zeigen
    1. 576 = 540 + 36
    2. 540 : 9 = 60 und 36 : 9 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★12
    Zerlege 100 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 100 : 4?
    100: 4
    Lösung zeigen
    1. 100 = 80 + 20
    2. 80 : 4 = 20 und 20 : 4 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 18 · 10 = 9 · ___
18 · 10=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 53 + 44 = 43 + ___
    So fängst du an:
    53 wird zu 43: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 53 wird zu 43: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 44 um 10 größer.
    3. 44 + 10 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 63 + 53 = 53 + ___
    63 + 53=53 + ?
    Lösung zeigen
    1. 63 wird zu 53: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 10 größer.
    3. 53 + 10 = 63
    Ergebnis:
    63
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 − 55 = ___ − 60
    Lösung zeigen
    1. 55 wird zu 60: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 5 größer.
    3. 66 + 5 = 71
    Ergebnis:
    71

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Sofia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 31? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
  3. Zusammen: 248
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
  3. Zusammen: 248
Ergebnis:
zerlegen, 248

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 56? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 56 = 50 + 6.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 56 = 50 + 6.
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 504
    Ergebnis:
    zerlegen, 504
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 22? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 2 = 10
    3. Zusammen: 110
    Ergebnis:
    zerlegen, 110

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina erhält für 28 · 30 das Ergebnis 940. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 940 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 28 · 30 = 840
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 940 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 28 · 30 = 840
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 840

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 155 : 5 und erhält 31. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    155 : 5Ergebnis 31?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 31 · 5 = 155
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 31 · 5 = 155
    2. 155 ist genau 155: Es stimmt.
    3. 155 : 5 = 31
    Ergebnis:
    stimmt, 31
  2. ●23
    Zeynep erhält für 84 · 17 das Ergebnis 1428. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 1428 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 84 · 17 = 1428
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1428
  3. ★24
    Emma erhält für 347 · 44 das Ergebnis 15.268. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 15.268 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 347 · 44 = 15.268
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 15.268

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 38 + 88 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    388822
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 38 + 22 + 88
    2. 38 + 22 = 60
    3. 60 + 88 = 148
    Ergebnis:
    148
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 6 · 5
    2065
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 6
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600
  3. ●27
    Noah rechnet 49 + 64 als 50 + 64. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    4964
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 64 = 114.
    3. 1 wieder abziehen: 114 − 1 = 113
    Ergebnis:
    113
  4. ●28
    Lina rechnet 145 − 99 als 145 − 100 und erhält 45. Ist das schon das Ergebnis?
    145 − 99145 − 100
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 45 + 1 = 46
    Ergebnis:
    Nein, 46
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 17
    Lösung zeigen
    1. 17 = 10 + 7
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 7 = 63
    3. 90 + 63 = 153
    Ergebnis:
    153
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 22?
    2025
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 20 = 100
    2. Rechts: 5 · 2 = 10
    3. 5 · 22 = 100 + 10 = 110
    Ergebnis:
    5 · 20 und 5 · 2, zusammen 110

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 18 + 26 + 12
    182612
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Can rechnet 68 + 27 als 70 + 27. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    6827
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 28
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    224

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 225 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 65 − 13 = ___ − 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Mia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 4 · 55? Nenne ihn und rechne.
    4 · 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 220

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 294 : 7 und erhält 43. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    294 : 7Ergebnis 43?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 42

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 101
  2. 105
  3. 456
  4. 53
  5. 37
  6. 2924
  7. 203
  8. 378 Hefte
  9. 392
  10. 21
  11. 64
  12. 25
  13. 54
  14. 63
  15. 71
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 180
  19. zerlegen, 504
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. zerlegen, 110
  22. stimmt, 31
  23. stimmt, 1428
  24. stimmt, 15.268
  25. 148
  26. 600
  27. 113
  28. Nein, 46
  29. 153
  30. 5 · 20 und 5 · 2, zusammen 110
  31. 56
  32. 95
  33. 224
  34. 45
  35. 67
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. zerlegen, 220
  38. falsch, richtig ist 42
  39. 19
  40. 36
  41. 28
  42. 18