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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 25 − 2 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 6 = 12
    2. 25 − 12 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 5 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 7 + 10 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 16 und erhalte 24. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 19 + 63 + 31
196331
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 19 + 31 + 63
  2. 19 + 31 = 50
  3. 50 + 63 = 113
  1. Vertauschen: 19 + 31 + 63
  2. 19 + 31 = 50
  3. 50 + 63 = 113
Ergebnis:
113

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zeynep rechnet 7 + 87 + 53 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    78753
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 53 + 87
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 53 + 87
    2. 7 + 53 = 60
    3. 60 + 87 = 147
    Ergebnis:
    147
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 42 + 23 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    374223
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 23 + 42
    2. 37 + 23 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 42 = 102
    Ergebnis:
    102
  3. ★3
    Ben rechnet 719 + 248 + 281 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    719248281
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 719 + 281 + 248
    2. 719 + 281 = 1000
    3. 1000 + 248 = 1248
    Ergebnis:
    1248

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Hanna rechnet 197 + 38 als 200 + 38. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
19738
Schritt für Schritt
  1. Hanna hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 38 = 238.
  3. 3 wieder abziehen: 238 − 3 = 235
  1. Hanna hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 38 = 238.
  3. 3 wieder abziehen: 238 − 3 = 235
Ergebnis:
235

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 97
    9797
    So fängst du an:
    97 bekommt 3 dazu, 97 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 97 gibt 3 ab.
    2. 97 + 97 = 100 + 94
    3. 100 + 94 = 194
    Ergebnis:
    194
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 74
    19774
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 74 gibt 3 ab.
    2. 197 + 74 = 200 + 71
    3. 200 + 71 = 271
    Ergebnis:
    271
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 496 + 538
    496538
    Lösung zeigen
    1. 496 bekommt 4 dazu, 538 gibt 4 ab.
    2. 496 + 538 = 500 + 534
    3. 500 + 534 = 1034
    Ergebnis:
    1034

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Tüten mit je 62 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 62
  2. 62 = 60 + 2
  3. 9 · 60 = 540 und 9 · 2 = 18
  4. 540 + 18 = 558
  1. 9 · 62
  2. 62 = 60 + 2
  3. 9 · 60 = 540 und 9 · 2 = 18
  4. 540 + 18 = 558
Ergebnis:
558 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  2. ●8
    Es gibt 9 Tüten mit je 23 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 23
    2. 23 = 20 + 3
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 3 = 27
    4. 180 + 27 = 207
    Ergebnis:
    207 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 48
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 8 = 24
    3. 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    144

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

128 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 128 : 8
  2. 128 = 80 + 48
  3. 80 : 8 = 10 und 48 : 8 = 6
  4. 10 + 6 = 16
  1. 128 : 8
  2. 128 = 80 + 48
  3. 80 : 8 = 10 und 48 : 8 = 6
  4. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 288 : 9
    So fängst du an:
    288 = 270 + 18
    Lösung zeigen
    1. 288 = 270 + 18
    2. 270 : 9 = 30 und 18 : 9 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 126 : 6
    Lösung zeigen
    1. 126 = 120 + 6
    2. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
    3. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21
  3. ★12
    Zerlege 560 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 560 : 5?
    560: 5
    Lösung zeigen
    1. 560 = 550 + 10
    2. 550 : 5 = 110 und 10 : 5 = 2
    3. 110 + 2 = 112
    Ergebnis:
    112

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 7 = 3 · ___
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 30 + 16 = 20 + ___
    30 + 16=20 + ?
    So fängst du an:
    30 wird zu 20: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 20: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 16 um 10 größer.
    3. 16 + 10 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 16 · 7 = 8 · ___
    16 · 7=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 3 · 34 + 3 · 2 = 3 · ___
    3 · 34 + 3 · 2=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 3.
    2. 3 mal 34 und 3 mal 2 sind zusammen 3 mal (34 + 2).
    3. 34 + 2 = 36
    Ergebnis:
    36

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Noah verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Milan verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 23? Nenne ihn und rechne.
    8 · 23zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 23 = 20 + 3.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 23 = 20 + 3.
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 3 = 24
    3. Zusammen: 184
    Ergebnis:
    zerlegen, 184
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 264 + 198? Nenne ihn und rechne.
    264 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 264 + 198 = 262 + 200
    3. 262 + 200 = 462
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 462
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 327 + 598? Nenne ihn und rechne.
    327 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 327 + 598 = 325 + 600
    3. 325 + 600 = 925
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 925

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 120 : 3 und erhält 42. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
120 : 3Ergebnis 42?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 42 · 3 = 126
  2. 126 ist nicht 120: Es ist falsch.
  3. 120 : 3 = 40
  1. Umkehraufgabe: 42 · 3 = 126
  2. 126 ist nicht 120: Es ist falsch.
  3. 120 : 3 = 40
Ergebnis:
falsch, richtig ist 40

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 245 : 5 und erhält 50. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    245 : 5Ergebnis 50?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 50 · 5 = 250
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 50 · 5 = 250
    2. 250 ist nicht 245: Es ist falsch.
    3. 245 : 5 = 49
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 49
  2. ●23
    Can rechnet 846 : 9 und erhält 93. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    846 : 9Ergebnis 93?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 93 · 9 = 837
    2. 837 ist nicht 846: Es ist falsch.
    3. 846 : 9 = 94
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 94
  3. ★24
    Paul rechnet 2845 : 5 und erhält 571. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2845 : 5Ergebnis 571?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 571 · 5 = 2855
    2. 2855 ist nicht 2845: Es ist falsch.
    3. 2845 : 5 = 569
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 569

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lina rechnet 24 + 19 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    24196
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 6 + 19
    2. 24 + 6 = 30
    3. 30 + 19 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 15 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1552
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 15
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 15 = 150
    Ergebnis:
    150
  3. ●27
    Aylin rechnet 97 + 36 als 100 + 36. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    9736
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 36 = 136.
    3. 3 wieder abziehen: 136 − 3 = 133
    Ergebnis:
    133
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 195 − 27 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 195 um 3 größer: 198.
    3. 198 − 30 = 168
    Ergebnis:
    198
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 37
    Lösung zeigen
    1. 37 = 30 + 7
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 7 = 28
    3. 120 + 28 = 148
    Ergebnis:
    148
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1095
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 10 = 50
    2. Rechter Teil: 5 · 9 = 45
    3. Zusammen: 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    95 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 36 + 77 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    367714
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    127

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 86 = 300 + ___
    29786
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    413

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    72 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 60 − 12 = ___ − 17
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Tom verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 34 + 24 + 66? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 124

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 87 : 3 und erhält 29. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    87 : 3Ergebnis 29?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 29

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 147
  2. 102
  3. 1248
  4. 194
  5. 271
  6. 1034
  7. 295
  8. 207 Bonbons
  9. 144
  10. 32
  11. 21
  12. 112
  13. 26
  14. 14
  15. 36
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 180
  19. zerlegen, 184
  20. gegensinnig verändern, 462
  21. gegensinnig verändern, 925
  22. falsch, richtig ist 49
  23. falsch, richtig ist 94
  24. falsch, richtig ist 569
  25. 49
  26. 150
  27. 133
  28. 198
  29. 148
  30. 95 Kästchen
  31. 127
  32. 83
  33. 413
  34. 24 Bücher
  35. 65
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. vertauschen, 124
  38. stimmt, 29
  39. 13
  40. 45
  41. 17
  42. 8