Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 65 − 3 · 9
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
2. 65 − 27 = 38
Ergebnis:
38
●40
Rechne: (8 + 9) · 7
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 8 + 9 = 17
2. 17 · 7 = 119
Ergebnis:
119

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 5 + 7 · 2
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
2. 5 + 14 = 19
Ergebnis:
19
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 36 und erhalte 78. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
42

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 7 + 27 + 43 zuerst zusammen? Begründe und rechne.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 7 + 43 + 27
7 + 43 = 50
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 27 = 77

Vertauschen: 7 + 43 + 27
7 + 43 = 50
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 27 = 77

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Emma rechnet 5 + 88 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 5 + 15 + 88
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 5 + 15 + 88
2. 5 + 15 = 20
3. 20 + 88 = 108
Ergebnis:
108
●2
Sofia rechnet 42 + 33 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 42 + 8 + 33
2. 42 + 8 = 50
3. 50 + 33 = 83
Ergebnis:
83
★3
Rechne geschickt: 121 + 668 + 79
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 121 + 79 + 668
2. 121 + 79 = 200
3. 200 + 668 = 868
Ergebnis:
868

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 97 + 78 als 100 + 78. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?

Schritt für Schritt

Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 78 = 178.
3 wieder abziehen: 178 − 3 = 175

Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 78 = 178.
3 wieder abziehen: 178 − 3 = 175

Ergebnis:

175

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 66 = 50 + ___
So fängst du an:
47 wird zu 50: 3 mehr.
Lösung zeigen
1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
2. Also muss 66 um 3 kleiner werden: 66 − 3 = 63
3. 50 + 63 = 113
Ergebnis:
63
●5
Aylin rechnet 68 + 25 als 70 + 25. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Aylin hat 68 um 2 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 25 = 95.
3. 2 wieder abziehen: 95 − 2 = 93
Ergebnis:
93
★6
Aylin rechnet 1997 + 904 als 2000 + 904. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Aylin hat 1997 um 3 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 2000 + 904 = 2904.
3. 3 wieder abziehen: 2904 − 3 = 2901
Ergebnis:
2901

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Hefte mit je 13 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

9 · 13
13 = 10 + 3
9 · 10 = 90 und 9 · 3 = 27
90 + 27 = 117

9 · 13
13 = 10 + 3
9 · 10 = 90 und 9 · 3 = 27
90 + 27 = 117

Ergebnis:

117 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 66
So fängst du an:
66 = 60 + 6
Lösung zeigen
1. 66 = 60 + 6
2. 5 · 60 = 300 und 5 · 6 = 30
3. 300 + 30 = 330
Ergebnis:
330
●8
Es gibt 9 Hefte mit je 53 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 9 · 53
2. 53 = 50 + 3
3. 9 · 50 = 450 und 9 · 3 = 27
4. 450 + 27 = 477
Ergebnis:
477 Hefte
★9
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 57
Lösung zeigen
1. 57 = 50 + 7
2. 6 · 50 = 300 und 6 · 7 = 42
3. 300 + 42 = 342
Ergebnis:
342

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 100 : 4

Schritt für Schritt

100 = 80 + 20
80 : 4 = 20 und 20 : 4 = 5
20 + 5 = 25

100 = 80 + 20
80 : 4 = 20 und 20 : 4 = 5
20 + 5 = 25

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Zerlege 115 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 115 : 5?
So fängst du an:
115 = 100 + 15
Lösung zeigen
1. 115 = 100 + 15
2. 100 : 5 = 20 und 15 : 5 = 3
3. 20 + 3 = 23
Ergebnis:
23
●11
336 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 336 : 7
2. 336 = 280 + 56
3. 280 : 7 = 40 und 56 : 7 = 8
4. 40 + 8 = 48
Ergebnis:
48 Bücher
★12
464 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 464 : 4
2. 464 = 440 + 24
3. 440 : 4 = 110 und 24 : 4 = 6
4. 110 + 6 = 116
Ergebnis:
116 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 + 39 = 62 + ___

Schritt für Schritt

59 wird zu 62: 3 mehr.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 39 um 3 kleiner.
39 − 3 = 36

59 wird zu 62: 3 mehr.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 39 um 3 kleiner.
39 − 3 = 36

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Ergänze die Lücke: 70 − 31 = ___ − 36
So fängst du an:
31 wird zu 36: 5 mehr.
Lösung zeigen
1. 31 wird zu 36: 5 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 70 um 5 größer.
3. 70 + 5 = 75
Ergebnis:
75
●14
Ergänze die Lücke: 18 · 7 = 9 · ___
Lösung zeigen
1. 18 wird halb so groß: 9.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
3. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14
★15
Ergänze die Lücke: 7 · 66 + 7 · 3 = 7 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
2. 7 mal 66 und 7 mal 3 sind zusammen 7 mal (66 + 3).
3. 66 + 3 = 69
Ergebnis:
69

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15

Schritt für Schritt

14 · 15 = 7 · 30
7 · 30 = 210

14 · 15 = 7 · 30
7 · 30 = 210

Ergebnis:

210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
So fängst du an:
Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200
●17
Paul verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90
★18
Zeynep verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.

Schritt für Schritt

5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
18 · 5 = 9 · 10
9 · 10 = 90

5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
18 · 5 = 9 · 10
9 · 10 = 90

Ergebnis:

halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
So fängst du an:
5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
Lösung zeigen
1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 16 · 5 = 8 · 10
3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80
●20
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 69? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 69 = 60 + 9.
2. 9 · 60 = 540 und 9 · 9 = 81
3. Zusammen: 621
Ergebnis:
zerlegen, 621
★21
Welcher Weg passt zu 8 · 89? Nenne ihn und rechne.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 89 = 80 + 9.
2. 8 · 80 = 640 und 8 · 9 = 72
3. Zusammen: 712
Ergebnis:
zerlegen, 712

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 208 : 8 und erhält 36. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 36 · 8 = 288
288 ist nicht 208: Es ist falsch.
208 : 8 = 26

Umkehraufgabe: 36 · 8 = 288
288 ist nicht 208: Es ist falsch.
208 : 8 = 26

Ergebnis:

falsch, richtig ist 26

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Ben rechnet 238 : 7 und erhält 35. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 35 · 7 = 245
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 35 · 7 = 245
2. 245 ist nicht 238: Es ist falsch.
3. 238 : 7 = 34
Ergebnis:
falsch, richtig ist 34
●23
Hanna rechnet 248 : 4 und erhält 72. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 72 · 4 = 288
2. 288 ist nicht 248: Es ist falsch.
3. 248 : 4 = 62
Ergebnis:
falsch, richtig ist 62
★24
Noah erhält für 304 · 44 das Ergebnis 13.376. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
2. 13.376 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 304 · 44 = 13.376
3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 13.376

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne geschickt: 8 + 76 + 32
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 8 + 32 + 76
2. 8 + 32 = 40
3. 40 + 76 = 116
Ergebnis:
116
●26
In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 15 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 20 · 5 · 15
2. 20 · 5 = 100
3. 100 · 15 = 1500
Ergebnis:
1500 Bälle
●27
Aylin rechnet 97 + 94 als 100 + 94. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 94 = 194.
3. 3 wieder abziehen: 194 − 3 = 191
Ergebnis:
191
●28
Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 224 − 199 = ___ − 200
Lösung zeigen
1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 224 um 1 größer: 225.
3. 225 − 200 = 25
Ergebnis:
225
●29
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 46
Lösung zeigen
1. 46 = 40 + 6
2. 5 · 40 = 200 und 5 · 6 = 30
3. 200 + 30 = 230
Ergebnis:
230
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 25?
Lösung zeigen
1. Links: 5 · 20 = 100
2. Rechts: 5 · 5 = 25
3. 5 · 25 = 100 + 25 = 125
Ergebnis:
5 · 20 und 5 · 5, zusammen 125

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Welche Zahlen fasst du bei 36 + 62 + 24 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
Lösung zeigen
Ergebnis:
122
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Elias rechnet 48 + 73 als 50 + 73. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
121
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
Lösung zeigen
Ergebnis:
57
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
144 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
48 Bücher
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Ergänze die Lücke: 85 + 37 = 95 + ___
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Ergebnis:
27
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
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Ergebnis:
210
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 65? Nenne ihn und rechne.
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Ergebnis:
zerlegen, 520
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Lina erhält für 55 · 41 das Ergebnis 2255. Prüfe mit einem Überschlag.
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Ergebnis:
stimmt, 2255

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

108
83
868
63
93
2901
330
477 Hefte
342
23
48 Bücher
116 Sticker
75
14
69
Nein, viermal so groß; richtig ist 200
Nein, viermal so groß; richtig ist 90
Nein, viermal so groß; richtig ist 900
halbieren und verdoppeln, 80
zerlegen, 621
zerlegen, 712
falsch, richtig ist 34
falsch, richtig ist 62
stimmt, 13.376
116
1500 Bälle
191
225
230
5 · 20 und 5 · 5, zusammen 125
122
121
57
48 Bücher
27
210
zerlegen, 520
stimmt, 2255
38
119
19
42