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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 47 − 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 47 − 28 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 7 = 63
    Ergebnis:
    63

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 7 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 6 = 42
    2. 6 + 42 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 37 + 28 + 23
372823
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 37 + 23 + 28
  2. 37 + 23 = 60
  3. 60 + 28 = 88
  1. Vertauschen: 37 + 23 + 28
  2. 37 + 23 = 60
  3. 60 + 28 = 88
Ergebnis:
88

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 71 + 12 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    87112
    So fängst du an:
    Vertauschen: 8 + 12 + 71
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 12 + 71
    2. 8 + 12 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 71 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 47 + 72 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    47723
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 47 + 3 + 72
    2. 47 + 3 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 72 = 122
    Ergebnis:
    122
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 135 + 842 + 65 + 165 + 35 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    1358426516535
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 135 + 165 + 65 + 35 + 842
    2. 135 + 165 = 300 und 65 + 35 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 842 = 1242
    Ergebnis:
    1242

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Zeynep rechnet 67 + 68 als 70 + 68. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
6768
Schritt für Schritt
  1. Zeynep hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 68 = 138.
  3. 3 wieder abziehen: 138 − 3 = 135
  1. Zeynep hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 68 = 138.
  3. 3 wieder abziehen: 138 − 3 = 135
Ergebnis:
135

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Sofia rechnet 68 + 36 als 70 + 36. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    6836
    So fängst du an:
    Sofia hat 68 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 36 = 106.
    3. 2 wieder abziehen: 106 − 2 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 39
    3739
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 39 gibt 3 ab.
    2. 37 + 39 = 40 + 36
    3. 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 996 + 137
    996137
    Lösung zeigen
    1. 996 bekommt 4 dazu, 137 gibt 4 ab.
    2. 996 + 137 = 1000 + 133
    3. 1000 + 133 = 1133
    Ergebnis:
    1133

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Tüten mit je 16 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 16
  2. 16 = 10 + 6
  3. 6 · 10 = 60 und 6 · 6 = 36
  4. 60 + 36 = 96
  1. 6 · 16
  2. 16 = 10 + 6
  3. 6 · 10 = 60 und 6 · 6 = 36
  4. 60 + 36 = 96
Ergebnis:
96 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    3. 350 − 7 = 343
    Ergebnis:
    343
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  3. ★9
    Es gibt 7 Hefte mit je 74 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 74
    2. 74 = 70 + 4
    3. 7 · 70 = 490 und 7 · 4 = 28
    4. 490 + 28 = 518
    Ergebnis:
    518 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 184 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 184 : 4?
184: 4
Schritt für Schritt
  1. 184 = 160 + 24
  2. 160 : 4 = 40 und 24 : 4 = 6
  3. 40 + 6 = 46
  1. 184 = 160 + 24
  2. 160 : 4 = 40 und 24 : 4 = 6
  3. 40 + 6 = 46
Ergebnis:
46

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    96 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    96 : 4
    Lösung zeigen
    1. 96 : 4
    2. 96 = 80 + 16
    3. 80 : 4 = 20 und 16 : 4 = 4
    4. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 504 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 504 : 9?
    504: 9
    Lösung zeigen
    1. 504 = 450 + 54
    2. 450 : 9 = 50 und 54 : 9 = 6
    3. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56
  3. ★12
    Zerlege 888 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 888 : 6?
    888: 6
    Lösung zeigen
    1. 888 = 840 + 48
    2. 840 : 6 = 140 und 48 : 6 = 8
    3. 140 + 8 = 148
    Ergebnis:
    148

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 89 − 79 = ___ − 89
Schritt für Schritt
  1. 79 wird zu 89: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 10 größer.
  3. 89 + 10 = 99
  1. 79 wird zu 89: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 10 größer.
  3. 89 + 10 = 99
Ergebnis:
99

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 86 − 34 = ___ − 44
    So fängst du an:
    34 wird zu 44: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 44: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 86 um 10 größer.
    3. 86 + 10 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 13 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 43 + 65 = 41 + ___
    Lösung zeigen
    1. 43 wird zu 41: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 65 um 2 größer.
    3. 65 + 2 = 67
    Ergebnis:
    67

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Paul verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 22 · 15
    Lösung zeigen
    1. 22 · 15 = 11 · 30
    2. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 168 + 598? Nenne ihn und rechne.
168 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 168 + 598 = 166 + 600
  3. 166 + 600 = 766
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 168 + 598 = 166 + 600
  3. 166 + 600 = 766
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 766

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 55? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 55 = 50 + 5.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 55 = 50 + 5.
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 5 = 30
    3. Zusammen: 330
    Ergebnis:
    zerlegen, 330
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 202 + 399? Nenne ihn und rechne.
    202 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 202 + 399 = 201 + 400
    3. 201 + 400 = 601
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 601
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 29 + 32 + 71? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 29 + 71 = 100
    3. 100 + 32 = 132
    Ergebnis:
    vertauschen, 132

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 313 − 208 und erhält 105. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 105 + 208 = 313
  2. 313 ist genau 313: Es stimmt.
  3. 313 − 208 = 105
  1. Umkehraufgabe: 105 + 208 = 313
  2. 313 ist genau 313: Es stimmt.
  3. 313 − 208 = 105
Ergebnis:
stimmt, 105

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 192 : 3 und erhält 65. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    192 : 3Ergebnis 65?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 65 · 3 = 195
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 65 · 3 = 195
    2. 195 ist nicht 192: Es ist falsch.
    3. 192 : 3 = 64
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 64
  2. ●23
    Hanna erhält für 66 · 30 das Ergebnis 1980. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
    2. 1980 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 66 · 30 = 1980
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1980
  3. ★24
    Aylin erhält für 247 · 35 das Ergebnis 8545. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 8545 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 247 · 35 = 8645
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 8645

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Hanna rechnet 45 + 24 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    45245
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 45 + 5 + 24
    2. 45 + 5 = 50
    3. 50 + 24 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 8 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kartons8 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 8
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 8 = 800
    Ergebnis:
    800 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 54 = 300 + ___
    29954
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 54 um 1 kleiner werden: 54 − 1 = 53
    3. 300 + 53 = 353
    Ergebnis:
    53
  4. ●28
    Can rechnet 50 − 37 als 50 − 40 und erhält 10. Ist das schon das Ergebnis?
    50 − 3750 − 40
    Lösung zeigen
    1. Can hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    Nein, 13
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 54
    Lösung zeigen
    1. 54 = 50 + 4
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 4 = 12
    3. 150 + 12 = 162
    Ergebnis:
    162
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 22?
    2026
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 2 = 12
    3. 6 · 22 = 120 + 12 = 132
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 2, zusammen 132

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 13 + 31 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    133127
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    71

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 47 + 49 als 50 + 49. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    4749
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    96

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    174

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    423 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 75 + 14 = 85 + ___
    75 + 14=85 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 76? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 456

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 26 · 16 das Ergebnis 416. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 416

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 91
  2. 122
  3. 1242
  4. 104
  5. 76
  6. 1133
  7. 343
  8. 312
  9. 518 Hefte
  10. 24 Sticker
  11. 56
  12. 148
  13. 96
  14. 26
  15. 67
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 90
  18. 330
  19. zerlegen, 330
  20. gegensinnig verändern, 601
  21. vertauschen, 132
  22. falsch, richtig ist 64
  23. stimmt, 1980
  24. falsch, richtig ist 8645
  25. 74
  26. 800 Bälle
  27. 53
  28. Nein, 13
  29. 162
  30. 6 · 20 und 6 · 2, zusammen 132
  31. 71
  32. 96
  33. 174
  34. 47 Murmeln
  35. 4
  36. 70
  37. zerlegen, 456
  38. stimmt, 416
  39. 19
  40. 63
  41. 48
  42. 58