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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 34 − 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (9 + 2) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 2 = 11
    2. 11 · 3 = 33
    Ergebnis:
    33

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 5 + 16 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 34. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 58 + 85 + 42 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
588542
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 58 + 42 + 85
  2. 58 + 42 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 85 = 185
  1. Vertauschen: 58 + 42 + 85
  2. 58 + 42 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 85 = 185
Ergebnis:
185

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 16 + 87 + 4
    16874
    So fängst du an:
    Vertauschen: 16 + 4 + 87
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 4 + 87
    2. 16 + 4 = 20
    3. 20 + 87 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●2
    Rechne geschickt: 57 + 34 + 3
    57343
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 3 + 34
    2. 57 + 3 = 60
    3. 60 + 34 = 94
    Ergebnis:
    94
  3. ★3
    Rechne geschickt: 92 + 615 + 8
    926158
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 92 + 8 + 615
    2. 92 + 8 = 100
    3. 100 + 615 = 715
    Ergebnis:
    715

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 47
9847
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 47 gibt 2 ab.
  2. 98 + 47 = 100 + 45
  3. 100 + 45 = 145
  1. 98 bekommt 2 dazu, 47 gibt 2 ab.
  2. 98 + 47 = 100 + 45
  3. 100 + 45 = 145
Ergebnis:
145

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 49
    6749
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 49 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 49 gibt 3 ab.
    2. 67 + 49 = 70 + 46
    3. 70 + 46 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●5
    Tom rechnet 98 + 28 als 100 + 28. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    9828
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 28 = 128.
    3. 2 wieder abziehen: 128 − 2 = 126
    Ergebnis:
    126
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 396 + 846
    396846
    Lösung zeigen
    1. 396 bekommt 4 dazu, 846 gibt 4 ab.
    2. 396 + 846 = 400 + 842
    3. 400 + 842 = 1242
    Ergebnis:
    1242

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 16
Schritt für Schritt
  1. 16 = 10 + 6
  2. 6 · 10 = 60 und 6 · 6 = 36
  3. 60 + 36 = 96
  1. 16 = 10 + 6
  2. 6 · 10 = 60 und 6 · 6 = 36
  3. 60 + 36 = 96
Ergebnis:
96

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 25
    So fängst du an:
    25 = 20 + 5
    Lösung zeigen
    1. 25 = 20 + 5
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 5 = 15
    3. 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 3 · 227
    Lösung zeigen
    1. 227 = 200 + 20 + 7
    2. 3 · 200 = 600; 3 · 20 = 60; 3 · 7 = 21
    3. 600 + 60 + 21 = 681
    Ergebnis:
    681

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

279 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 279 : 9
  2. 279 = 270 + 9
  3. 270 : 9 = 30 und 9 : 9 = 1
  4. 30 + 1 = 31
  1. 279 : 9
  2. 279 = 270 + 9
  3. 270 : 9 = 30 und 9 : 9 = 1
  4. 30 + 1 = 31
Ergebnis:
31 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 536 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 536 : 8?
    536: 8
    So fängst du an:
    536 = 480 + 56
    Lösung zeigen
    1. 536 = 480 + 56
    2. 480 : 8 = 60 und 56 : 8 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●11
    Zerlege 512 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 512 : 8?
    512: 8
    Lösung zeigen
    1. 512 = 480 + 32
    2. 480 : 8 = 60 und 32 : 8 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★12
    Zerlege 1379 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 1379 : 7?
    1379: 7
    Lösung zeigen
    1. 1379 = 1330 + 49
    2. 1330 : 7 = 190 und 49 : 7 = 7
    3. 190 + 7 = 197
    Ergebnis:
    197

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 70 + 69 = 68 + ___
Schritt für Schritt
  1. 70 wird zu 68: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 69 um 2 größer.
  3. 69 + 2 = 71
  1. 70 wird zu 68: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 69 um 2 größer.
  3. 69 + 2 = 71
Ergebnis:
71

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 55 + 43 = 57 + ___
    55 + 43=57 + ?
    So fängst du an:
    55 wird zu 57: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 55 wird zu 57: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 43 um 2 kleiner.
    3. 43 − 2 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 54 − 13 = ___ − 14
    Lösung zeigen
    1. 13 wird zu 14: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 1 größer.
    3. 54 + 1 = 55
    Ergebnis:
    55
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 − 36 = ___ − 37
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 37: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 1 größer.
    3. 84 + 1 = 85
    Ergebnis:
    85

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    So fängst du an:
    12 · 15 = 6 · 30
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 41? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. Zusammen: 328
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 41 = 40 + 1.
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
  3. Zusammen: 328
Ergebnis:
zerlegen, 328

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 44 + 59 + 56? Nenne ihn und rechne.
    44 + 59 + 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    vertauschen, 159
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 20 + 78 + 80? Nenne ihn und rechne.
    20 + 78 + 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 20 + 80 = 100
    3. 100 + 78 = 178
    Ergebnis:
    vertauschen, 178
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan erhält für 36 · 30 das Ergebnis 1280. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 1280 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 30 = 1080
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 1280 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 30 = 1080
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1080

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can erhält für 70 · 14 das Ergebnis 980. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 70 · 10 = 700
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 10 = 700
    2. 980 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 70 · 14 = 980
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 980
  2. ●23
    Sofia rechnet 150 : 3 und erhält 49. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    150 : 3Ergebnis 49?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 49 · 3 = 147
    2. 147 ist nicht 150: Es ist falsch.
    3. 150 : 3 = 50
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 50
  3. ★24
    Milan rechnet 6184 − 4005 und erhält 2169. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2169 + 4005 = 6174
    2. 6174 ist nicht 6184: Es ist falsch.
    3. 6184 − 4005 = 2179
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2179

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Milan rechnet 6 + 26 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    62614
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 26
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 26 = 46
    Ergebnis:
    46
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 3 · 25 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    3254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 3
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Tom rechnet 38 + 96 als 40 + 96. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    3896
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 96 = 136.
    3. 2 wieder abziehen: 136 − 2 = 134
    Ergebnis:
    134
  4. ●28
    Zeynep rechnet 64 − 47 als 64 − 50 und erhält 14. Ist das schon das Ergebnis?
    64 − 4764 − 50
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 14 + 3 = 17
    Ergebnis:
    Nein, 17
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2075
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    135 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 6 + 22 + 44
    62244
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 46 = 300 + ___
    29746
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    295

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 252 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 93 − 31 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    103

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 272 + 299? Nenne ihn und rechne.
    272 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 571

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 320 : 4 und erhält 79. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    320 : 4Ergebnis 79?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 80

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 107
  2. 94
  3. 715
  4. 116
  5. 126
  6. 1242
  7. 75
  8. 147
  9. 681
  10. 67
  11. 64
  12. 197
  13. 41
  14. 55
  15. 85
  16. 180
  17. 80
  18. 810
  19. vertauschen, 159
  20. vertauschen, 178
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. stimmt, 980
  23. falsch, richtig ist 50
  24. falsch, richtig ist 2179
  25. 46
  26. 300
  27. 134
  28. Nein, 17
  29. 57
  30. 135 Kästchen
  31. 72
  32. 43
  33. 295
  34. 63
  35. 103
  36. 210
  37. gegensinnig verändern, 571
  38. falsch, richtig ist 80
  39. 19
  40. 33
  41. 21
  42. 16