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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 4 + 35 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●40
    Rechne: (5 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 3 = 8
    2. 8 · 8 = 64
    Ergebnis:
    64

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 12 + 18 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 34. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 15 + 16 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
151615
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 15 + 16
  2. 15 + 15 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 16 = 46
  1. Vertauschen: 15 + 15 + 16
  2. 15 + 15 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 16 = 46
Ergebnis:
46

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Elias rechnet 7 + 48 + 43 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    74843
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 43 + 48
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 43 + 48
    2. 7 + 43 = 50
    3. 50 + 48 = 98
    Ergebnis:
    98
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 33 + 22 + 7 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    33227
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 7 + 22
    2. 33 + 7 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 22 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 114 + 779 + 86 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    11477986
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 114 + 86 + 779
    2. 114 + 86 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 779 = 979
    Ergebnis:
    979

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 77 = 300 + ___
29777
Schritt für Schritt
  1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
  2. Also muss 77 um 3 kleiner werden: 77 − 3 = 74
  3. 300 + 74 = 374
  1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
  2. Also muss 77 um 3 kleiner werden: 77 − 3 = 74
  3. 300 + 74 = 374
Ergebnis:
74

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 94 = 40 + ___
    3794
    So fängst du an:
    37 wird zu 40: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 94 um 3 kleiner werden: 94 − 3 = 91
    3. 40 + 91 = 131
    Ergebnis:
    91
  2. ●5
    Emma rechnet 197 + 65 als 200 + 65. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    19765
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 65 = 265.
    3. 3 wieder abziehen: 265 − 3 = 262
    Ergebnis:
    262
  3. ★6
    Emma rechnet 698 + 223 als 700 + 223. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    698223
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 698 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 700 + 223 = 923.
    3. 2 wieder abziehen: 923 − 2 = 921
    Ergebnis:
    921

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 67
Schritt für Schritt
  1. 67 = 60 + 7
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 7 = 28
  3. 240 + 28 = 268
  1. 67 = 60 + 7
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 7 = 28
  3. 240 + 28 = 268
Ergebnis:
268

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 49
    So fängst du an:
    49 = 40 + 9
    Lösung zeigen
    1. 49 = 40 + 9
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 9 = 36
    3. 160 + 36 = 196
    Ergebnis:
    196
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 7 = 56
    3. 400 + 56 = 456
    Ergebnis:
    456
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 403
    Lösung zeigen
    1. 403 = 400 + 3
    2. 7 · 400 = 2800; 7 · 3 = 21
    3. 2800 + 21 = 2821
    Ergebnis:
    2821

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

147 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 147 : 7
  2. 147 = 140 + 7
  3. 140 : 7 = 20 und 7 : 7 = 1
  4. 20 + 1 = 21
  1. 147 : 7
  2. 147 = 140 + 7
  3. 140 : 7 = 20 und 7 : 7 = 1
  4. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    99 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    99 : 3
    Lösung zeigen
    1. 99 : 3
    2. 99 = 90 + 9
    3. 90 : 3 = 30 und 9 : 3 = 3
    4. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33 Sticker
  2. ●11
    234 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 234 : 9
    2. 234 = 180 + 54
    3. 180 : 9 = 20 und 54 : 9 = 6
    4. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26 Murmeln
  3. ★12
    822 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 822 : 6
    2. 822 = 780 + 42
    3. 780 : 6 = 130 und 42 : 6 = 7
    4. 130 + 7 = 137
    Ergebnis:
    137 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 + 52 = 59 + ___
56 + 52=59 + ?
Schritt für Schritt
  1. 56 wird zu 59: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 52 um 3 kleiner.
  3. 52 − 3 = 49
  1. 56 wird zu 59: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 52 um 3 kleiner.
  3. 52 − 3 = 49
Ergebnis:
49

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 + 83 = 26 + ___
    16 + 83=26 + ?
    So fängst du an:
    16 wird zu 26: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 26: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 83 um 10 kleiner.
    3. 83 − 10 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 85 − 39 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 41: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 2 größer.
    3. 85 + 2 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 3 = 9 · ___
    18 · 3=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Jonas verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 6 · 67? Nenne ihn und rechne.
6 · 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 67 = 60 + 7.
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 7 = 42
  3. Zusammen: 402
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 67 = 60 + 7.
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 7 = 42
  3. Zusammen: 402
Ergebnis:
zerlegen, 402

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 + 21 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 21 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    vertauschen, 121
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 69? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 69 = 60 + 9.
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 9 = 81
    3. Zusammen: 621
    Ergebnis:
    zerlegen, 621
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 3346 − 2335? Nenne ihn und rechne.
    3346 − 2335zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3346 − 2335 = 1011
    Ergebnis:
    schriftlich, 1011

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 384 : 4 und erhält 98. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
384 : 4Ergebnis 98?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 98 · 4 = 392
  2. 392 ist nicht 384: Es ist falsch.
  3. 384 : 4 = 96
  1. Umkehraufgabe: 98 · 4 = 392
  2. 392 ist nicht 384: Es ist falsch.
  3. 384 : 4 = 96
Ergebnis:
falsch, richtig ist 96

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia rechnet 503 − 372 und erhält 231. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 231 + 372 = 603
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 231 + 372 = 603
    2. 603 ist nicht 503: Es ist falsch.
    3. 503 − 372 = 131
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 131
  2. ●23
    Sofia rechnet 513 − 416 und erhält 97. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 97 + 416 = 513
    2. 513 ist genau 513: Es stimmt.
    3. 513 − 416 = 97
    Ergebnis:
    stimmt, 97
  3. ★24
    Jonas rechnet 8609 − 4467 und erhält 4152. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4152 + 4467 = 8619
    2. 8619 ist nicht 8609: Es ist falsch.
    3. 8609 − 4467 = 4142
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4142

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zeynep rechnet 43 + 33 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    433317
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 17 + 33
    2. 43 + 17 = 60
    3. 60 + 33 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 14 · 2 · 50 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    14250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 14
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 65
    19865
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 65 gibt 2 ab.
    2. 198 + 65 = 200 + 63
    3. 200 + 63 = 263
    Ergebnis:
    263
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 66 − 27
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 66 − 27 = 69 − 30
    3. 69 − 30 = 39
    Ergebnis:
    39
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 13 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1033
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 3 = 9
    3. Zusammen: 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 45 + 13 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    174513
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 55 = 100 + ___
    9855
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    196

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    124 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 43 + 45 = 33 + ___
    43 + 45=33 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Milan verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 201 + 598? Nenne ihn und rechne.
    201 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 799

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 37 · 31 das Ergebnis 1347. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1147

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 98
  2. 62
  3. 979
  4. 91
  5. 262
  6. 921
  7. 196
  8. 456
  9. 2821
  10. 33 Sticker
  11. 26 Murmeln
  12. 137 Bücher
  13. 73
  14. 87
  15. 6
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. vertauschen, 121
  20. zerlegen, 621
  21. schriftlich, 1011
  22. falsch, richtig ist 131
  23. stimmt, 97
  24. falsch, richtig ist 4142
  25. 93
  26. 1400
  27. 263
  28. 39
  29. 152
  30. 39 Kästchen
  31. 75
  32. 53
  33. 196
  34. 31 Sticker
  35. 55
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. gegensinnig verändern, 799
  38. falsch, richtig ist 1147
  39. 39
  40. 64
  41. 30
  42. 29