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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 8 + 28 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (2 + 9) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 9 = 11
    2. 11 · 5 = 55
    Ergebnis:
    55

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 6 + 16 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 44. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 49 + 48 + 51 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
494851
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 49 + 51 + 48
  2. 49 + 51 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 48 = 148
  1. Vertauschen: 49 + 51 + 48
  2. 49 + 51 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 48 = 148
Ergebnis:
148

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 64 + 24 + 36
    642436
    So fängst du an:
    Vertauschen: 64 + 36 + 24
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 64 + 36 + 24
    2. 64 + 36 = 100
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●2
    Rechne geschickt: 41 + 56 + 19
    415619
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 41 + 19 + 56
    2. 41 + 19 = 60
    3. 60 + 56 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 943 + 214 + 36 + 57 + 64 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    943214365764
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 943 + 57 + 36 + 64 + 214
    2. 943 + 57 = 1000 und 36 + 64 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 214 = 1314
    Ergebnis:
    1314

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 48 + 57 als 50 + 57. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
4857
Schritt für Schritt
  1. Aylin hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 57 = 107.
  3. 2 wieder abziehen: 107 − 2 = 105
  1. Aylin hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 57 = 107.
  3. 2 wieder abziehen: 107 − 2 = 105
Ergebnis:
105

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 97 = 300 + ___
    29997
    So fängst du an:
    299 wird zu 300: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 97 um 1 kleiner werden: 97 − 1 = 96
    3. 300 + 96 = 396
    Ergebnis:
    96
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 24
    3824
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 24 gibt 2 ab.
    2. 38 + 24 = 40 + 22
    3. 40 + 22 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 398 + 549 = 400 + ___
    398549
    Lösung zeigen
    1. 398 wird zu 400: 2 mehr.
    2. Also muss 549 um 2 kleiner werden: 549 − 2 = 547
    3. 400 + 547 = 947
    Ergebnis:
    547

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  3. 250 − 5 = 245
  1. 49 = 50 − 1
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  3. 250 − 5 = 245
Ergebnis:
245

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 64
    So fängst du an:
    64 = 60 + 4
    Lösung zeigen
    1. 64 = 60 + 4
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 4 = 12
    3. 180 + 12 = 192
    Ergebnis:
    192
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 45
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 5 = 20
    3. 160 + 20 = 180
    Ergebnis:
    180

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 165 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 165 : 3?
165: 3
Schritt für Schritt
  1. 165 = 150 + 15
  2. 150 : 3 = 50 und 15 : 3 = 5
  3. 50 + 5 = 55
  1. 165 = 150 + 15
  2. 150 : 3 = 50 und 15 : 3 = 5
  3. 50 + 5 = 55
Ergebnis:
55

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    119 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    119 : 7
    Lösung zeigen
    1. 119 : 7
    2. 119 = 70 + 49
    3. 70 : 7 = 10 und 49 : 7 = 7
    4. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 54 : 3
    Lösung zeigen
    1. 54 = 30 + 24
    2. 30 : 3 = 10 und 24 : 3 = 8
    3. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★12
    Zerlege 1548 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1548 : 9?
    1548: 9
    Lösung zeigen
    1. 1548 = 1530 + 18
    2. 1530 : 9 = 170 und 18 : 9 = 2
    3. 170 + 2 = 172
    Ergebnis:
    172

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 71 + 58 = 61 + ___
Schritt für Schritt
  1. 71 wird zu 61: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 10 größer.
  3. 58 + 10 = 68
  1. 71 wird zu 61: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 10 größer.
  3. 58 + 10 = 68
Ergebnis:
68

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 91 − 77 = ___ − 87
    So fängst du an:
    77 wird zu 87: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 77 wird zu 87: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 10 größer.
    3. 91 + 10 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 98 − 85 = ___ − 95
    Lösung zeigen
    1. 85 wird zu 95: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 10 größer.
    3. 98 + 10 = 108
    Ergebnis:
    108
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 50 − 44 = ___ − 46
    Lösung zeigen
    1. 44 wird zu 46: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 50 um 2 größer.
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 + 69 + 86? Nenne ihn und rechne.
    14 + 69 + 86zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 14 + 86 = 100
    3. 100 + 69 = 169
    Ergebnis:
    vertauschen, 169
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 13 + 66 + 87? Nenne ihn und rechne.
    13 + 66 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 66 = 166
    Ergebnis:
    vertauschen, 166

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina erhält für 26 · 26 das Ergebnis 876. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 876 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 26 · 26 = 676
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 876 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 26 · 26 = 676
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 676

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 248 : 4 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    248 : 4Ergebnis 61?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 61 · 4 = 244
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 61 · 4 = 244
    2. 244 ist nicht 248: Es ist falsch.
    3. 248 : 4 = 62
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 62
  2. ●23
    Mia rechnet 312 : 4 und erhält 78. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    312 : 4Ergebnis 78?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 78 · 4 = 312
    2. 312 ist genau 312: Es stimmt.
    3. 312 : 4 = 78
    Ergebnis:
    stimmt, 78
  3. ★24
    Tom rechnet 3087 : 9 und erhält 344. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3087 : 9Ergebnis 344?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 344 · 9 = 3096
    2. 3096 ist nicht 3087: Es ist falsch.
    3. 3087 : 9 = 343
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 343

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 26 + 45 + 14
    264514
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    1. Vertauschen: 26 + 14 + 45
    2. 26 + 14 = 40
    3. 40 + 45 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 18
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 86 = 40 + ___
    3786
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
    3. 40 + 83 = 123
    Ergebnis:
    83
  4. ●28
    Sofia rechnet 196 − 19 als 196 − 20 und erhält 176. Ist das schon das Ergebnis?
    196 − 19196 − 20
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 176 + 1 = 177
    Ergebnis:
    Nein, 177
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 44
    Lösung zeigen
    1. 44 = 40 + 4
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 4 = 36
    3. 360 + 36 = 396
    Ergebnis:
    396
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 18?
    1084
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 10 = 40
    2. Rechts: 4 · 8 = 32
    3. 4 · 18 = 40 + 32 = 72
    Ergebnis:
    4 · 10 und 4 · 8, zusammen 72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Elias rechnet 4 + 52 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    45216
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Tom rechnet 99 + 34 als 100 + 34. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    9934
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Reihen mit je 67 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    469 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 196 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 196 : 7?
    196: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 8 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 309 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 907

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma erhält für 49 · 44 das Ergebnis 2256. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2156

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 124
  2. 116
  3. 1314
  4. 96
  5. 62
  6. 547
  7. 192
  8. 196
  9. 180
  10. 17 Murmeln
  11. 18
  12. 172
  13. 101
  14. 108
  15. 52
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. 200
  18. 400
  19. vertauschen, 169
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. vertauschen, 166
  22. falsch, richtig ist 62
  23. stimmt, 78
  24. falsch, richtig ist 343
  25. 85
  26. 1800 Bälle
  27. 83
  28. Nein, 177
  29. 396
  30. 4 · 10 und 4 · 8, zusammen 72
  31. 72
  32. 133
  33. 469 Stühle
  34. 28
  35. 16
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 907
  38. falsch, richtig ist 2156
  39. 36
  40. 55
  41. 22
  42. 33