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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 47 − 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 47 − 28 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 7 = 63
    Ergebnis:
    63

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 7 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 6 = 42
    2. 6 + 42 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 11 + 57 + 39
115739
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 39 + 57
  2. 11 + 39 = 50
  3. 50 + 57 = 107
  1. Vertauschen: 11 + 39 + 57
  2. 11 + 39 = 50
  3. 50 + 57 = 107
Ergebnis:
107

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 5 + 36 + 45 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    53645
    So fängst du an:
    Vertauschen: 5 + 45 + 36
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 45 + 36
    2. 5 + 45 = 50
    3. 50 + 36 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●2
    Rechne geschickt: 9 + 32 + 21
    93221
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 21 + 32
    2. 9 + 21 = 30
    3. 30 + 32 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 27 + 437 + 49 + 73 + 51 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    27437497351
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 73 + 49 + 51 + 437
    2. 27 + 73 = 100 und 49 + 51 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 437 = 637
    Ergebnis:
    637

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 55
29955
Schritt für Schritt
  1. 299 bekommt 1 dazu, 55 gibt 1 ab.
  2. 299 + 55 = 300 + 54
  3. 300 + 54 = 354
  1. 299 bekommt 1 dazu, 55 gibt 1 ab.
  2. 299 + 55 = 300 + 54
  3. 300 + 54 = 354
Ergebnis:
354

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Noah rechnet 47 + 78 als 50 + 78. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    4778
    So fängst du an:
    Noah hat 47 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 78 = 128.
    3. 3 wieder abziehen: 128 − 3 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●5
    Tom rechnet 69 + 54 als 70 + 54. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    6954
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 54 = 124.
    3. 1 wieder abziehen: 124 − 1 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 499 + 485 = 500 + ___
    499485
    Lösung zeigen
    1. 499 wird zu 500: 1 mehr.
    2. Also muss 485 um 1 kleiner werden: 485 − 1 = 484
    3. 500 + 484 = 984
    Ergebnis:
    484

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Tüten mit je 68 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 68
  2. 68 = 60 + 8
  3. 7 · 60 = 420 und 7 · 8 = 56
  4. 420 + 56 = 476
  1. 7 · 68
  2. 68 = 60 + 8
  3. 7 · 60 = 420 und 7 · 8 = 56
  4. 420 + 56 = 476
Ergebnis:
476 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 44
    So fängst du an:
    44 = 40 + 4
    Lösung zeigen
    1. 44 = 40 + 4
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 4 = 36
    3. 360 + 36 = 396
    Ergebnis:
    396
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 42
    Lösung zeigen
    1. 42 = 40 + 2
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 2 = 18
    3. 360 + 18 = 378
    Ergebnis:
    378

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

57 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 57 : 3
  2. 57 = 30 + 27
  3. 30 : 3 = 10 und 27 : 3 = 9
  4. 10 + 9 = 19
  1. 57 : 3
  2. 57 = 30 + 27
  3. 30 : 3 = 10 und 27 : 3 = 9
  4. 10 + 9 = 19
Ergebnis:
19 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    132 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    132 : 6
    Lösung zeigen
    1. 132 : 6
    2. 132 = 120 + 12
    3. 120 : 6 = 20 und 12 : 6 = 2
    4. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22 Bücher
  2. ●11
    156 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 156 : 4
    2. 156 = 120 + 36
    3. 120 : 4 = 30 und 36 : 4 = 9
    4. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 320 : 5
    Lösung zeigen
    1. 320 = 300 + 20
    2. 300 : 5 = 60 und 20 : 5 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 6 = 7 · ___
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
Ergebnis:
12

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 60 − 44 = ___ − 46
    So fängst du an:
    44 wird zu 46: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 44 wird zu 46: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 60 um 2 größer.
    3. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 77 + 68 = 79 + ___
    77 + 68=79 + ?
    Lösung zeigen
    1. 77 wird zu 79: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 2 kleiner.
    3. 68 − 2 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 35 + 64 = 37 + ___
    35 + 64=37 + ?
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 37: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 64 um 2 kleiner.
    3. 64 − 2 = 62
    Ergebnis:
    62

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Emma verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 34 + 33 + 66? Nenne ihn und rechne.
34 + 33 + 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 34 + 66 = 100
  3. 100 + 33 = 133
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 34 + 66 = 100
  3. 100 + 33 = 133
Ergebnis:
vertauschen, 133

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 176 + 497? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 176 + 497 = 173 + 500
    3. 173 + 500 = 673
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 673
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 396 : 6 und erhält 68. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
396 : 6Ergebnis 68?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 68 · 6 = 408
  2. 408 ist nicht 396: Es ist falsch.
  3. 396 : 6 = 66
  1. Umkehraufgabe: 68 · 6 = 408
  2. 408 ist nicht 396: Es ist falsch.
  3. 396 : 6 = 66
Ergebnis:
falsch, richtig ist 66

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin erhält für 53 · 18 das Ergebnis 1954. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 20 = 1000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 1954 liegt zu weit weg. Genau: 53 · 18 = 954
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 954
  2. ●23
    Milan rechnet 418 − 159 und erhält 359. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 359 + 159 = 518
    2. 518 ist nicht 418: Es ist falsch.
    3. 418 − 159 = 259
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 259
  3. ★24
    Tom rechnet 2965 − 2720 und erhält 235. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 235 + 2720 = 2955
    2. 2955 ist nicht 2965: Es ist falsch.
    3. 2965 − 2720 = 245
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 245

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 47 + 44 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    47443
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 47 + 3 + 44
    2. 47 + 3 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 44 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●26
    Rechne geschickt: 14 · 20 · 5
    14205
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 14
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Ben rechnet 49 + 32 als 50 + 32. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    4932
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 32 = 82.
    3. 1 wieder abziehen: 82 − 1 = 81
    Ergebnis:
    81
  4. ●28
    Tom rechnet 83 − 48 als 83 − 50 und erhält 33. Ist das schon das Ergebnis?
    83 − 4883 − 50
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 33 + 2 = 35
    Ergebnis:
    Nein, 35
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 42
    Lösung zeigen
    1. 42 = 40 + 2
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 2 = 6
    3. 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    126
  6. ●30
    Zeynep rechnet 4 · 14 so: erst 4 · 10, dann 4 dazu. Zeynep erhält 44. Zeige am Bild, was fehlt.
    1044
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 4 · 4 = 16
    3. 40 + 16 = 56
    Ergebnis:
    56

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 47 + 68 + 13
    476813
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    128

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 83
    29883
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    381

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    270 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 77 + 39 = 79 + ___
    77 + 39=79 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 319 − 227 und erhält 102. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 92

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 86
  2. 62
  3. 637
  4. 125
  5. 123
  6. 484
  7. 396
  8. 245
  9. 378
  10. 22 Bücher
  11. 39 Bücher
  12. 64
  13. 62
  14. 66
  15. 62
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 810
  19. gegensinnig verändern, 673
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. halbieren und verdoppeln, 400
  22. falsch, richtig ist 954
  23. falsch, richtig ist 259
  24. falsch, richtig ist 245
  25. 94
  26. 1400
  27. 81
  28. Nein, 35
  29. 126
  30. 56
  31. 128
  32. 381
  33. 57
  34. 54 Murmeln
  35. 37
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 92
  39. 19
  40. 63
  41. 48
  42. 58