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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 9 + 30 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●40
    Rechne: (7 + 6) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 6 = 13
    2. 13 · 7 = 91
    Ergebnis:
    91

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 6 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 7 = 42
    2. 6 + 42 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 36 und erhalte 43. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 38 + 17 + 62
381762
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 38 + 62 + 17
  2. 38 + 62 = 100
  3. 100 + 17 = 117
  1. Vertauschen: 38 + 62 + 17
  2. 38 + 62 = 100
  3. 100 + 17 = 117
Ergebnis:
117

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ben rechnet 36 + 21 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    36214
    So fängst du an:
    Vertauschen: 36 + 4 + 21
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 4 + 21
    2. 36 + 4 = 40
    3. 40 + 21 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 26 + 55 + 4 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    26554
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 4 + 55
    2. 26 + 4 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 55 = 85
    Ergebnis:
    85
  3. ★3
    Rechne geschickt: 116 + 771 + 61 + 184 + 39
    1167716118439
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 116 + 184 + 61 + 39 + 771
    2. 116 + 184 = 300 und 61 + 39 = 100
    3. 300 + 100 + 771 = 1171
    Ergebnis:
    1171

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 55 = 40 + ___
3855
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 55 um 2 kleiner werden: 55 − 2 = 53
  3. 40 + 53 = 93
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 55 um 2 kleiner werden: 55 − 2 = 53
  3. 40 + 53 = 93
Ergebnis:
53

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Hanna rechnet 299 + 54 als 300 + 54. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    29954
    So fängst du an:
    Hanna hat 299 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 54 = 354.
    3. 1 wieder abziehen: 354 − 1 = 353
    Ergebnis:
    353
  2. ●5
    Paul rechnet 48 + 26 als 50 + 26. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    4826
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 26 = 76.
    3. 2 wieder abziehen: 76 − 2 = 74
    Ergebnis:
    74
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 496 + 469
    496469
    Lösung zeigen
    1. 496 bekommt 4 dazu, 469 gibt 4 ab.
    2. 496 + 469 = 500 + 465
    3. 500 + 465 = 965
    Ergebnis:
    965

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Tüten mit je 61 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  4. 360 + 6 = 366
  1. 6 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  4. 360 + 6 = 366
Ergebnis:
366 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Reihen mit je 46 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 46
    Lösung zeigen
    1. 5 · 46
    2. 46 = 40 + 6
    3. 5 · 40 = 200 und 5 · 6 = 30
    4. 200 + 30 = 230
    Ergebnis:
    230 Stühle
  2. ●8
    Es gibt 8 Reihen mit je 37 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 37
    2. 37 = 30 + 7
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 7 = 56
    4. 240 + 56 = 296
    Ergebnis:
    296 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 272 : 4
Schritt für Schritt
  1. 272 = 240 + 32
  2. 240 : 4 = 60 und 32 : 4 = 8
  3. 60 + 8 = 68
  1. 272 = 240 + 32
  2. 240 : 4 = 60 und 32 : 4 = 8
  3. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 108 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 108 : 6?
    108: 6
    So fängst du an:
    108 = 60 + 48
    Lösung zeigen
    1. 108 = 60 + 48
    2. 60 : 6 = 10 und 48 : 6 = 8
    3. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●11
    Zerlege 406 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 406 : 7?
    406: 7
    Lösung zeigen
    1. 406 = 350 + 56
    2. 350 : 7 = 50 und 56 : 7 = 8
    3. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 770 : 5
    Lösung zeigen
    1. 770 = 750 + 20
    2. 750 : 5 = 150 und 20 : 5 = 4
    3. 150 + 4 = 154
    Ergebnis:
    154

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 13 = 2 · ___
4 · 13=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 12 · 13 = 6 · ___
    12 · 13=6 · ?
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 10 = 3 · ___
    6 · 10=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 5 · 38 + 5 · 3 = 5 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 38 und 5 mal 3 sind zusammen 5 mal (38 + 3).
    3. 38 + 3 = 41
    Ergebnis:
    41

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Can verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 19 + 22 + 81? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 19 + 81 = 100
  3. 100 + 22 = 122
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 19 + 81 = 100
  3. 100 + 22 = 122
Ergebnis:
vertauschen, 122

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 28 + 48 + 72? Nenne ihn und rechne.
    28 + 48 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 28 + 72 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    vertauschen, 148
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 + 52 + 86? Nenne ihn und rechne.
    14 + 52 + 86zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 14 + 86 = 100
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    vertauschen, 152
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 81? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 81 = 80 + 1.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 1 = 9
    3. Zusammen: 729
    Ergebnis:
    zerlegen, 729

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 800 − 123 und erhält 667. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 667 + 123 = 790
  2. 790 ist nicht 800: Es ist falsch.
  3. 800 − 123 = 677
  1. Umkehraufgabe: 667 + 123 = 790
  2. 790 ist nicht 800: Es ist falsch.
  3. 800 − 123 = 677
Ergebnis:
falsch, richtig ist 677

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 866 − 271 und erhält 695. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 695 + 271 = 966
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 695 + 271 = 966
    2. 966 ist nicht 866: Es ist falsch.
    3. 866 − 271 = 595
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 595
  2. ●23
    Paul rechnet 246 : 3 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    246 : 3Ergebnis 84?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 84 · 3 = 252
    2. 252 ist nicht 246: Es ist falsch.
    3. 246 : 3 = 82
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 82
  3. ★24
    Hanna rechnet 9524 − 1008 und erhält 8526. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 8526 + 1008 = 9534
    2. 9534 ist nicht 9524: Es ist falsch.
    3. 9524 − 1008 = 8516
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 8516

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 93 + 59 + 7
    93597
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 93 + 7 + 59
    2. 93 + 7 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    159
  2. ●26
    Rechne geschickt: 14 · 5 · 2
    1452
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 14
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140
  3. ●27
    Tom rechnet 98 + 93 als 100 + 93. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    9893
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 93 = 193.
    3. 2 wieder abziehen: 193 − 2 = 191
    Ergebnis:
    191
  4. ●28
    Emma rechnet 80 − 37 als 80 − 40 und erhält 40. Ist das schon das Ergebnis?
    80 − 3780 − 40
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 40 + 3 = 43
    Ergebnis:
    Nein, 43
  5. ●29
    Lea rechnet 7 · 26 so: erst 7 · 20, dann 6 dazu. Lea erhält 146. Zeige am Bild, was fehlt.
    2067
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 7 · 6 = 42
    3. 140 + 42 = 182
    Ergebnis:
    182
  6. ●30
    156 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 156 : 3
    2. 156 = 150 + 6
    3. 150 : 3 = 50 und 6 : 3 = 2
    4. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52 Murmeln

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 9 + 87 + 11
    98711
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    107

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Emma rechnet 38 + 39 als 40 + 39. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    3839
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Reihen mit je 17 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 153 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 72 + 89 = 71 + ___
    72 + 89=71 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 114 : 3 und erhält 40. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    114 : 3Ergebnis 40?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 38

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 61
  2. 85
  3. 1171
  4. 353
  5. 74
  6. 965
  7. 230 Stühle
  8. 296 Stühle
  9. 294
  10. 18
  11. 58
  12. 154
  13. 26
  14. 20
  15. 41
  16. 70
  17. 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
  19. vertauschen, 148
  20. vertauschen, 152
  21. zerlegen, 729
  22. falsch, richtig ist 595
  23. falsch, richtig ist 82
  24. falsch, richtig ist 8516
  25. 159
  26. 140
  27. 191
  28. Nein, 43
  29. 182
  30. 52 Murmeln
  31. 107
  32. 77
  33. 51 Stühle
  34. 51
  35. 90
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 38
  39. 39
  40. 91
  41. 48
  42. 7