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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 51 − 2 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 6 = 12
    2. 51 − 12 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●40
    Rechne: (4 + 2) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 2 = 6
    2. 6 · 4 = 24
    Ergebnis:
    24

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 5 + 30 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 34 und erhalte 88. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 84 + 78 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
847816
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 84 + 16 + 78
  2. 84 + 16 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 78 = 178
  1. Vertauschen: 84 + 16 + 78
  2. 84 + 16 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 78 = 178
Ergebnis:
178

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 66 + 79 + 34 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    667934
    So fängst du an:
    Vertauschen: 66 + 34 + 79
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 66 + 34 + 79
    2. 66 + 34 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    179
  2. ●2
    Aylin rechnet 96 + 15 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    96154
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 96 + 4 + 15
    2. 96 + 4 = 100
    3. 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 284 + 509 + 23 + 16 + 77 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    284509231677
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 284 + 16 + 23 + 77 + 509
    2. 284 + 16 = 300 und 23 + 77 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 509 = 909
    Ergebnis:
    909

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 63 = 70 + ___
6963
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 63 um 1 kleiner werden: 63 − 1 = 62
  3. 70 + 62 = 132
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 63 um 1 kleiner werden: 63 − 1 = 62
  3. 70 + 62 = 132
Ergebnis:
62

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 92 = 100 + ___
    9992
    So fängst du an:
    99 wird zu 100: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 92 um 1 kleiner werden: 92 − 1 = 91
    3. 100 + 91 = 191
    Ergebnis:
    91
  2. ●5
    Noah rechnet 69 + 95 als 70 + 95. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    6995
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 95 = 165.
    3. 1 wieder abziehen: 165 − 1 = 164
    Ergebnis:
    164
  3. ★6
    Can rechnet 496 + 356 als 500 + 356. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    496356
    Lösung zeigen
    1. Can hat 496 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 500 + 356 = 856.
    3. 4 wieder abziehen: 856 − 4 = 852
    Ergebnis:
    852

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 38
Schritt für Schritt
  1. 38 = 30 + 8
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 8 = 40
  3. 150 + 40 = 190
  1. 38 = 30 + 8
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 8 = 40
  3. 150 + 40 = 190
Ergebnis:
190

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 5 · 200 = 1000 und 5 · 2 = 10
    3. 1000 − 10 = 990
    Ergebnis:
    990

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 102 : 3
Schritt für Schritt
  1. 102 = 90 + 12
  2. 90 : 3 = 30 und 12 : 3 = 4
  3. 30 + 4 = 34
  1. 102 = 90 + 12
  2. 90 : 3 = 30 und 12 : 3 = 4
  3. 30 + 4 = 34
Ergebnis:
34

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 168 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 168 : 7?
    168: 7
    So fängst du an:
    168 = 140 + 28
    Lösung zeigen
    1. 168 = 140 + 28
    2. 140 : 7 = 20 und 28 : 7 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 84 : 7
    Lösung zeigen
    1. 84 = 70 + 14
    2. 70 : 7 = 10 und 14 : 7 = 2
    3. 10 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 410 : 5
    Lösung zeigen
    1. 410 = 400 + 10
    2. 400 : 5 = 80 und 10 : 5 = 2
    3. 80 + 2 = 82
    Ergebnis:
    82

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 82 + 85 = 81 + ___
82 + 85=81 + ?
Schritt für Schritt
  1. 82 wird zu 81: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 1 größer.
  3. 85 + 1 = 86
  1. 82 wird zu 81: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 1 größer.
  3. 85 + 1 = 86
Ergebnis:
86

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 24 + 56 = 14 + ___
    So fängst du an:
    24 wird zu 14: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 14: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 10 größer.
    3. 56 + 10 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 18 · 15 = 9 · ___
    18 · 15=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 8 · 60 + 8 · 4 = 8 · ___
    8 · 60 + 8 · 4=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 60 und 8 mal 4 sind zusammen 8 mal (60 + 4).
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 54? Nenne ihn und rechne.
7 · 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
  3. Zusammen: 378
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
  3. Zusammen: 378
Ergebnis:
zerlegen, 378

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 27 + 45 + 73? Nenne ihn und rechne.
    27 + 45 + 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 45 = 145
    Ergebnis:
    vertauschen, 145
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 355 + 399? Nenne ihn und rechne.
    355 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 355 + 399 = 354 + 400
    3. 354 + 400 = 754
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 754

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 69 · 12 das Ergebnis 728. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 10 = 700
  2. 728 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 69 · 12 = 828
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 70 · 10 = 700
  2. 728 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 69 · 12 = 828
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 828

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 76 · 17 das Ergebnis 1192. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 20 = 1600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 1192 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 76 · 17 = 1292
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1292
  2. ●23
    Emma erhält für 84 · 46 das Ergebnis 3964. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
    2. 3964 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 84 · 46 = 3864
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3864
  3. ★24
    Zeynep erhält für 375 · 12 das Ergebnis 4500. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 10 = 4000
    2. 4500 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 375 · 12 = 4500
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 4500

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 61 + 36 + 39
    613639
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 61 + 39 + 36
    2. 61 + 39 = 100
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 19 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons19 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 19
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 19 = 190
    Ergebnis:
    190 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 39 = 300 + ___
    29939
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 39 um 1 kleiner werden: 39 − 1 = 38
    3. 300 + 38 = 338
    Ergebnis:
    38
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 157 − 27 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 157 um 3 größer: 160.
    3. 160 − 30 = 130
    Ergebnis:
    160
  5. ●29
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 23 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2036
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 3 = 18
    3. Zusammen: 120 + 18 = 138
    Ergebnis:
    138 Kästchen
  6. ●30
    208 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 208 : 8
    2. 208 = 160 + 48
    3. 160 : 8 = 20 und 48 : 8 = 6
    4. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26 Murmeln

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 23 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    232317
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 86
    4786
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Hefte mit je 19 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 180 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 4 · 7 = 2 · ___
    4 · 7=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 87? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 783

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can erhält für 65 · 31 das Ergebnis 1915. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2015

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 179
  2. 115
  3. 909
  4. 91
  5. 164
  6. 852
  7. 472
  8. 245
  9. 990
  10. 24
  11. 12
  12. 82
  13. 66
  14. 30
  15. 64
  16. 180
  17. 210
  18. 400
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. vertauschen, 145
  21. gegensinnig verändern, 754
  22. falsch, richtig ist 1292
  23. falsch, richtig ist 3864
  24. stimmt, 4500
  25. 136
  26. 190 Bälle
  27. 38
  28. 160
  29. 138 Kästchen
  30. 26 Murmeln
  31. 63
  32. 133
  33. 95 Hefte
  34. 36
  35. 14
  36. 90
  37. zerlegen, 783
  38. falsch, richtig ist 2015
  39. 39
  40. 24
  41. 35
  42. 54