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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 22 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 22 − 15 = 7
    Ergebnis:
    7
  2. ●40
    Rechne: (5 + 8) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 8 = 13
    2. 13 · 5 = 65
    Ergebnis:
    65

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 4 + 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 53. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Hanna rechnet 14 + 58 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
145836
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 36 + 58
  2. 14 + 36 = 50
  3. 50 + 58 = 108
  1. Vertauschen: 14 + 36 + 58
  2. 14 + 36 = 50
  3. 50 + 58 = 108
Ergebnis:
108

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 6 + 63 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    66314
    So fängst du an:
    Vertauschen: 6 + 14 + 63
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 63
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 63 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 27 + 44 + 33 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    274433
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 33 + 44
    2. 27 + 33 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 44 = 104
    Ergebnis:
    104
  3. ★3
    Rechne geschickt: 199 + 632 + 101
    199632101
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 199 + 101 + 632
    2. 199 + 101 = 300
    3. 300 + 632 = 932
    Ergebnis:
    932

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 38
9838
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 38 gibt 2 ab.
  2. 98 + 38 = 100 + 36
  3. 100 + 36 = 136
  1. 98 bekommt 2 dazu, 38 gibt 2 ab.
  2. 98 + 38 = 100 + 36
  3. 100 + 36 = 136
Ergebnis:
136

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Hanna rechnet 47 + 55 als 50 + 55. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    4755
    So fängst du an:
    Hanna hat 47 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 55 = 105.
    3. 3 wieder abziehen: 105 − 3 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 39
    9839
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
    2. 98 + 39 = 100 + 37
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    137
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1998 + 288 = 2000 + ___
    1998288
    Lösung zeigen
    1. 1998 wird zu 2000: 2 mehr.
    2. Also muss 288 um 2 kleiner werden: 288 − 2 = 286
    3. 2000 + 286 = 2286
    Ergebnis:
    286

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Hefte mit je 15 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 5 · 10 = 50 und 5 · 5 = 25
  4. 50 + 25 = 75
  1. 5 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 5 · 10 = 50 und 5 · 5 = 25
  4. 50 + 25 = 75
Ergebnis:
75 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  3. ★9
    Es gibt 8 Reihen mit je 65 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 5 = 40
    4. 480 + 40 = 520
    Ergebnis:
    520 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 280 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 280 : 8?
280: 8
Schritt für Schritt
  1. 280 = 240 + 40
  2. 240 : 8 = 30 und 40 : 8 = 5
  3. 30 + 5 = 35
  1. 280 = 240 + 40
  2. 240 : 8 = 30 und 40 : 8 = 5
  3. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    376 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    376 : 8
    Lösung zeigen
    1. 376 : 8
    2. 376 = 320 + 56
    3. 320 : 8 = 40 und 56 : 8 = 7
    4. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47 Sticker
  2. ●11
    268 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 268 : 4
    2. 268 = 240 + 28
    3. 240 : 4 = 60 und 28 : 4 = 7
    4. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67 Murmeln
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 176 : 4
    Lösung zeigen
    1. 176 = 160 + 16
    2. 160 : 4 = 40 und 16 : 4 = 4
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 8 · 3 = 4 · ___
8 · 3=4 · ?
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 5 = 8 · ___
    16 · 5=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 87 − 37 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 42: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 87 um 5 größer.
    3. 87 + 5 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 79 + 46 = 82 + ___
    79 + 46=82 + ?
    Lösung zeigen
    1. 79 wird zu 82: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 46 um 3 kleiner.
    3. 46 − 3 = 43
    Ergebnis:
    43

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Emma verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 163 + 399? Nenne ihn und rechne.
163 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 163 + 399 = 162 + 400
  3. 162 + 400 = 562
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 163 + 399 = 162 + 400
  3. 162 + 400 = 562
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 562

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 42 + 49 + 58? Nenne ihn und rechne.
    42 + 49 + 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 42 + 58 = 100
    3. 100 + 49 = 149
    Ergebnis:
    vertauschen, 149
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 19 + 31 + 81? Nenne ihn und rechne.
    19 + 31 + 81zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 19 + 81 = 100
    3. 100 + 31 = 131
    Ergebnis:
    vertauschen, 131
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 306 : 6 und erhält 53. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
306 : 6Ergebnis 53?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 53 · 6 = 318
  2. 318 ist nicht 306: Es ist falsch.
  3. 306 : 6 = 51
  1. Umkehraufgabe: 53 · 6 = 318
  2. 318 ist nicht 306: Es ist falsch.
  3. 306 : 6 = 51
Ergebnis:
falsch, richtig ist 51

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 616 : 7 und erhält 98. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    616 : 7Ergebnis 98?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 98 · 7 = 686
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 98 · 7 = 686
    2. 686 ist nicht 616: Es ist falsch.
    3. 616 : 7 = 88
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 88
  2. ●23
    Jonas erhält für 29 · 40 das Ergebnis 2160. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 40 = 1200
    2. 2160 liegt zu weit weg. Genau: 29 · 40 = 1160
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1160
  3. ★24
    Paul rechnet 4496 − 2043 und erhält 2473. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2473 + 2043 = 4516
    2. 4516 ist nicht 4496: Es ist falsch.
    3. 4496 − 2043 = 2453
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2453

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 24 + 52 + 6
    24526
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 6 + 52
    2. 24 + 6 = 30
    3. 30 + 52 = 82
    Ergebnis:
    82
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 2 · 16 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2165
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 16
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 16 = 160
    Ergebnis:
    160
  3. ●27
    Tom rechnet 47 + 35 als 50 + 35. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    4735
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 35 = 85.
    3. 3 wieder abziehen: 85 − 3 = 82
    Ergebnis:
    82
  4. ●28
    Elias rechnet 96 − 18 als 96 − 20 und erhält 76. Ist das schon das Ergebnis?
    96 − 1896 − 20
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 76 + 2 = 78
    Ergebnis:
    Nein, 78
  5. ●29
    Es gibt 4 Hefte mit je 39 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 4 · 30 = 120 und 4 · 9 = 36
    4. 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    156 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 25?
    2057
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 5 = 35
    3. 7 · 25 = 140 + 35 = 175
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 5, zusammen 175

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 15 + 58 + 35
    155835
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 36 = 40 + ___
    3736
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 21 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    105 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    413 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 14 · 15 = 7 · ___
    14 · 15=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 9 · 79? Nenne ihn und rechne.
    9 · 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 711

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 948 − 549 und erhält 409. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 399

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 83
  2. 104
  3. 932
  4. 102
  5. 137
  6. 286
  7. 147
  8. 472
  9. 520 Stühle
  10. 47 Sticker
  11. 67 Murmeln
  12. 44
  13. 10
  14. 92
  15. 43
  16. 200
  17. 80
  18. 800
  19. vertauschen, 149
  20. vertauschen, 131
  21. halbieren und verdoppeln, 300
  22. falsch, richtig ist 88
  23. falsch, richtig ist 1160
  24. falsch, richtig ist 2453
  25. 82
  26. 160
  27. 82
  28. Nein, 78
  29. 156 Hefte
  30. 7 · 20 und 7 · 5, zusammen 175
  31. 108
  32. 33
  33. 105 Bonbons
  34. 59 Sticker
  35. 30
  36. 90
  37. zerlegen, 711
  38. falsch, richtig ist 399
  39. 7
  40. 65
  41. 19
  42. 13