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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 53 − 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 53 − 28 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (5 + 6) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 6 = 11
    2. 11 · 8 = 88
    Ergebnis:
    88

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 2 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 9 = 18
    2. 11 + 18 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 91. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 13 + 85 + 27
138527
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 27 + 85
  2. 13 + 27 = 40
  3. 40 + 85 = 125
  1. Vertauschen: 13 + 27 + 85
  2. 13 + 27 = 40
  3. 40 + 85 = 125
Ergebnis:
125

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 23 + 68 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    236837
    So fängst du an:
    Vertauschen: 23 + 37 + 68
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 37 + 68
    2. 23 + 37 = 60
    3. 60 + 68 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 39 + 13 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    373913
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 13 + 39
    2. 37 + 13 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 39 = 89
    Ergebnis:
    89
  3. ★3
    Emma rechnet 52 + 239 + 148 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    52239148
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 52 + 148 + 239
    2. 52 + 148 = 200
    3. 200 + 239 = 439
    Ergebnis:
    439

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lea rechnet 48 + 96 als 50 + 96. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
4896
Schritt für Schritt
  1. Lea hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 96 = 146.
  3. 2 wieder abziehen: 146 − 2 = 144
  1. Lea hat 48 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 96 = 146.
  3. 2 wieder abziehen: 146 − 2 = 144
Ergebnis:
144

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 85 = 300 + ___
    29985
    So fängst du an:
    299 wird zu 300: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 85 um 1 kleiner werden: 85 − 1 = 84
    3. 300 + 84 = 384
    Ergebnis:
    84
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 87
    3987
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 87 gibt 1 ab.
    2. 39 + 87 = 40 + 86
    3. 40 + 86 = 126
    Ergebnis:
    126
  3. ★6
    Ben rechnet 697 + 938 als 700 + 938. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    697938
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 697 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 700 + 938 = 1638.
    3. 3 wieder abziehen: 1638 − 3 = 1635
    Ergebnis:
    1635

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
Ergebnis:
133

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Hefte mit je 58 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 58
    Lösung zeigen
    1. 8 · 58
    2. 58 = 50 + 8
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 8 = 64
    4. 400 + 64 = 464
    Ergebnis:
    464 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 51
    Lösung zeigen
    1. 51 = 50 + 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 + 3 = 153
    Ergebnis:
    153
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 205
    Lösung zeigen
    1. 205 = 200 + 5
    2. 7 · 200 = 1400; 7 · 5 = 35
    3. 1400 + 35 = 1435
    Ergebnis:
    1435

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 110 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 110 : 5?
110: 5
Schritt für Schritt
  1. 110 = 100 + 10
  2. 100 : 5 = 20 und 10 : 5 = 2
  3. 20 + 2 = 22
  1. 110 = 100 + 10
  2. 100 : 5 = 20 und 10 : 5 = 2
  3. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 69 : 3
    So fängst du an:
    69 = 60 + 9
    Lösung zeigen
    1. 69 = 60 + 9
    2. 60 : 3 = 20 und 9 : 3 = 3
    3. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 217 : 7
    Lösung zeigen
    1. 217 = 210 + 7
    2. 210 : 7 = 30 und 7 : 7 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 528 : 4
    Lösung zeigen
    1. 528 = 520 + 8
    2. 520 : 4 = 130 und 8 : 4 = 2
    3. 130 + 2 = 132
    Ergebnis:
    132

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 74 + 41 = 72 + ___
74 + 41=72 + ?
Schritt für Schritt
  1. 74 wird zu 72: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 2 größer.
  3. 41 + 2 = 43
  1. 74 wird zu 72: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 2 größer.
  3. 41 + 2 = 43
Ergebnis:
43

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 6 = 9 · ___
    18 · 6=9 · ?
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 15 = 3 · ___
    6 · 15=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 5 · 67 + 5 · 8 = 5 · ___
    5 · 67 + 5 · 8=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 67 und 5 mal 8 sind zusammen 5 mal (67 + 8).
    3. 67 + 8 = 75
    Ergebnis:
    75

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Paul verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Lea verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 31? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. Zusammen: 279
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. Zusammen: 279
Ergebnis:
zerlegen, 279

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 300 + 198? Nenne ihn und rechne.
    300 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 300 + 198 = 298 + 200
    3. 298 + 200 = 498
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 498
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 57? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 57 = 50 + 7.
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
    3. Zusammen: 513
    Ergebnis:
    zerlegen, 513
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7044 − 2917? Nenne ihn und rechne.
    7044 − 2917zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 7044 − 2917 = 4127
    Ergebnis:
    schriftlich, 4127

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 345 : 5 und erhält 68. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
345 : 5Ergebnis 68?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 68 · 5 = 340
  2. 340 ist nicht 345: Es ist falsch.
  3. 345 : 5 = 69
  1. Umkehraufgabe: 68 · 5 = 340
  2. 340 ist nicht 345: Es ist falsch.
  3. 345 : 5 = 69
Ergebnis:
falsch, richtig ist 69

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas erhält für 74 · 44 das Ergebnis 3356. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 70 · 40 = 2800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
    2. 3356 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 74 · 44 = 3256
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3256
  2. ●23
    Noah rechnet 245 : 7 und erhält 35. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    245 : 7Ergebnis 35?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 35 · 7 = 245
    2. 245 ist genau 245: Es stimmt.
    3. 245 : 7 = 35
    Ergebnis:
    stimmt, 35
  3. ★24
    Lina erhält für 284 · 33 das Ergebnis 10.372. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 30 = 9000
    2. 10.372 liegt zu weit weg. Genau: 284 · 33 = 9372
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 9372

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 68 + 55 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    685532
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 68 + 32 + 55
    2. 68 + 32 = 100
    3. 100 + 55 = 155
    Ergebnis:
    155
  2. ●26
    Rechne geschickt: 12 · 50 · 2
    12502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 12
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Can rechnet 69 + 85 als 70 + 85. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    6985
    Lösung zeigen
    1. Can hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 85 = 155.
    3. 1 wieder abziehen: 155 − 1 = 154
    Ergebnis:
    154
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 193 − 27 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 193 um 3 größer: 196.
    3. 196 − 30 = 166
    Ergebnis:
    196
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 53
    Lösung zeigen
    1. 53 = 50 + 3
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 3 = 24
    3. 400 + 24 = 424
    Ergebnis:
    424
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 25 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2055
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 42 + 83 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    428318
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    143

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 44 = 50 + ___
    4944
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    236

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 378 : 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 53 + 21 = 51 + ___
    53 + 21=51 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 135 : 3 und erhält 55. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    135 : 3Ergebnis 55?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 45

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 128
  2. 89
  3. 439
  4. 84
  5. 126
  6. 1635
  7. 464 Hefte
  8. 153
  9. 1435
  10. 23
  11. 31
  12. 132
  13. 12
  14. 30
  15. 75
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 400
  19. gegensinnig verändern, 498
  20. zerlegen, 513
  21. schriftlich, 4127
  22. falsch, richtig ist 3256
  23. stimmt, 35
  24. falsch, richtig ist 9372
  25. 155
  26. 1200
  27. 154
  28. 196
  29. 424
  30. 125 Kästchen
  31. 143
  32. 43
  33. 236
  34. 54
  35. 23
  36. 180
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 45
  39. 25
  40. 88
  41. 29
  42. 59