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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 35 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 35 − 24 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●40
    Rechne: (6 + 4) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 4 = 10
    2. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 11 + 25 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 39. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 8 + 66 + 12 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
86612
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 8 + 12 + 66
  2. 8 + 12 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 66 = 86
  1. Vertauschen: 8 + 12 + 66
  2. 8 + 12 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 66 = 86
Ergebnis:
86

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 58 + 19 + 42
    581942
    So fängst du an:
    Vertauschen: 58 + 42 + 19
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 58 + 42 + 19
    2. 58 + 42 = 100
    3. 100 + 19 = 119
    Ergebnis:
    119
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 42 + 32 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    423218
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 18 + 32
    2. 42 + 18 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 32 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★3
    Rechne geschickt: 33 + 548 + 167
    33548167
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 167 + 548
    2. 33 + 167 = 200
    3. 200 + 548 = 748
    Ergebnis:
    748

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Jonas rechnet 67 + 24 als 70 + 24. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
6724
Schritt für Schritt
  1. Jonas hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 24 = 94.
  3. 3 wieder abziehen: 94 − 3 = 91
  1. Jonas hat 67 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 24 = 94.
  3. 3 wieder abziehen: 94 − 3 = 91
Ergebnis:
91

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 69 = 200 + ___
    19969
    So fängst du an:
    199 wird zu 200: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 69 um 1 kleiner werden: 69 − 1 = 68
    3. 200 + 68 = 268
    Ergebnis:
    68
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 55
    29755
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 55 gibt 3 ab.
    2. 297 + 55 = 300 + 52
    3. 300 + 52 = 352
    Ergebnis:
    352
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1997 + 869
    1997869
    Lösung zeigen
    1. 1997 bekommt 3 dazu, 869 gibt 3 ab.
    2. 1997 + 869 = 2000 + 866
    3. 2000 + 866 = 2866
    Ergebnis:
    2866

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 14
Schritt für Schritt
  1. 14 = 10 + 4
  2. 6 · 10 = 60 und 6 · 4 = 24
  3. 60 + 24 = 84
  1. 14 = 10 + 4
  2. 6 · 10 = 60 und 6 · 4 = 24
  3. 60 + 24 = 84
Ergebnis:
84

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Reihen mit je 45 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 45
    Lösung zeigen
    1. 8 · 45
    2. 45 = 40 + 5
    3. 8 · 40 = 320 und 8 · 5 = 40
    4. 320 + 40 = 360
    Ergebnis:
    360 Stühle
  2. ●8
    Es gibt 4 Hefte mit je 13 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 4 · 10 = 40 und 4 · 3 = 12
    4. 40 + 12 = 52
    Ergebnis:
    52 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 5 Tüten mit je 62 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 62
    2. 62 = 60 + 2
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 2 = 10
    4. 300 + 10 = 310
    Ergebnis:
    310 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

288 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 288 : 6
  2. 288 = 240 + 48
  3. 240 : 6 = 40 und 48 : 6 = 8
  4. 40 + 8 = 48
  1. 288 : 6
  2. 288 = 240 + 48
  3. 240 : 6 = 40 und 48 : 6 = 8
  4. 40 + 8 = 48
Ergebnis:
48 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 72 : 6
    So fängst du an:
    72 = 60 + 12
    Lösung zeigen
    1. 72 = 60 + 12
    2. 60 : 6 = 10 und 12 : 6 = 2
    3. 10 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●11
    220 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 220 : 4
    2. 220 = 200 + 20
    3. 200 : 4 = 50 und 20 : 4 = 5
    4. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55 Murmeln
  3. ★12
    156 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 156 : 4
    2. 156 = 120 + 36
    3. 120 : 4 = 30 und 36 : 4 = 9
    4. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 48 − 14 = ___ − 16
Schritt für Schritt
  1. 14 wird zu 16: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 2 größer.
  3. 48 + 2 = 50
  1. 14 wird zu 16: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 2 größer.
  3. 48 + 2 = 50
Ergebnis:
50

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 88 − 34 = ___ − 44
    So fängst du an:
    34 wird zu 44: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 44: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 10 größer.
    3. 88 + 10 = 98
    Ergebnis:
    98
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 13 = 3 · ___
    6 · 13=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 76 + 89 = 78 + ___
    76 + 89=78 + ?
    Lösung zeigen
    1. 76 wird zu 78: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 2 kleiner.
    3. 89 − 2 = 87
    Ergebnis:
    87

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Noah verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 44 + 31 + 56? Nenne ihn und rechne.
44 + 31 + 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 44 + 56 = 100
  3. 100 + 31 = 131
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 44 + 56 = 100
  3. 100 + 31 = 131
Ergebnis:
vertauschen, 131

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 34? Nenne ihn und rechne.
    6 · 34zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 34 = 30 + 4.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 34 = 30 + 4.
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 4 = 24
    3. Zusammen: 204
    Ergebnis:
    zerlegen, 204
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8607 − 2130? Nenne ihn und rechne.
    8607 − 2130zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 8607 − 2130 = 6477
    Ergebnis:
    schriftlich, 6477

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 805 − 290 und erhält 535. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 535 + 290 = 825
  2. 825 ist nicht 805: Es ist falsch.
  3. 805 − 290 = 515
  1. Umkehraufgabe: 535 + 290 = 825
  2. 825 ist nicht 805: Es ist falsch.
  3. 805 − 290 = 515
Ergebnis:
falsch, richtig ist 515

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 395 − 170 und erhält 245. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 245 + 170 = 415
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 245 + 170 = 415
    2. 415 ist nicht 395: Es ist falsch.
    3. 395 − 170 = 225
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 225
  2. ●23
    Lina rechnet 378 : 6 und erhält 65. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    378 : 6Ergebnis 65?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 65 · 6 = 390
    2. 390 ist nicht 378: Es ist falsch.
    3. 378 : 6 = 63
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 63
  3. ★24
    Mia rechnet 2115 : 5 und erhält 433. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2115 : 5Ergebnis 433?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 433 · 5 = 2165
    2. 2165 ist nicht 2115: Es ist falsch.
    3. 2115 : 5 = 423
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 423

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 37 + 44 + 13
    374413
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 13 + 44
    2. 37 + 13 = 50
    3. 50 + 44 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Packungen18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 18
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 18 = 180
    Ergebnis:
    180 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 37 = 70 + ___
    6837
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 37 um 2 kleiner werden: 37 − 2 = 35
    3. 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    35
  4. ●28
    Sofia rechnet 40 − 17 als 40 − 20 und erhält 20. Ist das schon das Ergebnis?
    40 − 1740 − 20
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    Nein, 23
  5. ●29
    Es gibt 8 Tüten mit je 49 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 49
    2. 49 = 40 + 9
    3. 8 · 40 = 320 und 8 · 9 = 72
    4. 320 + 72 = 392
    Ergebnis:
    392 Bonbons
  6. ●30
    Aylin rechnet 3 · 15 so: erst 3 · 10, dann 5 dazu. Aylin erhält 35. Zeige am Bild, was fehlt.
    1053
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 3 · 5 = 15
    3. 30 + 15 = 45
    Ergebnis:
    45

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Milan rechnet 32 + 34 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    323418
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 63 = 300 + ___
    29963
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    472

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    104 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 47 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 29? Nenne ihn und rechne.
    7 · 29zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 203

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 66 · 36 das Ergebnis 2376. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2376

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 119
  2. 92
  3. 748
  4. 68
  5. 352
  6. 2866
  7. 360 Stühle
  8. 52 Hefte
  9. 310 Bonbons
  10. 12
  11. 55 Murmeln
  12. 39 Murmeln
  13. 98
  14. 26
  15. 87
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 490
  19. zerlegen, 204
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. schriftlich, 6477
  22. falsch, richtig ist 225
  23. falsch, richtig ist 63
  24. falsch, richtig ist 423
  25. 94
  26. 180 Bälle
  27. 35
  28. Nein, 23
  29. 392 Bonbons
  30. 45
  31. 84
  32. 62
  33. 472
  34. 13 Bücher
  35. 48
  36. 180
  37. zerlegen, 203
  38. stimmt, 2376
  39. 11
  40. 60
  41. 36
  42. 27