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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 6 + 4 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (2 + 7) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 7 = 9
    2. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 9 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 5 = 45
    2. 10 + 45 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 46. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 36 + 37 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
363714
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 36 + 14 + 37
  2. 36 + 14 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 37 = 87
  1. Vertauschen: 36 + 14 + 37
  2. 36 + 14 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 37 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 26 + 25 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    252625
    So fängst du an:
    Vertauschen: 25 + 25 + 26
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 25 + 26
    2. 25 + 25 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 26 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●2
    Tom rechnet 16 + 49 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    164914
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 14 + 49
    2. 16 + 14 = 30
    3. 30 + 49 = 79
    Ergebnis:
    79
  3. ★3
    Hanna rechnet 284 + 247 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    28424716
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 284 + 16 + 247
    2. 284 + 16 = 300
    3. 300 + 247 = 547
    Ergebnis:
    547

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 93 = 40 + ___
3893
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 93 um 2 kleiner werden: 93 − 2 = 91
  3. 40 + 91 = 131
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 93 um 2 kleiner werden: 93 − 2 = 91
  3. 40 + 91 = 131
Ergebnis:
91

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 27
    3927
    So fängst du an:
    39 bekommt 1 dazu, 27 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 27 gibt 1 ab.
    2. 39 + 27 = 40 + 26
    3. 40 + 26 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 59
    29859
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 59 gibt 2 ab.
    2. 298 + 59 = 300 + 57
    3. 300 + 57 = 357
    Ergebnis:
    357
  3. ★6
    Hanna rechnet 996 + 198 als 1000 + 198. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    996198
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 1000 + 198 = 1198.
    3. 4 wieder abziehen: 1198 − 4 = 1194
    Ergebnis:
    1194

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 42
Schritt für Schritt
  1. 42 = 40 + 2
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 2 = 12
  3. 240 + 12 = 252
  1. 42 = 40 + 2
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 2 = 12
  3. 240 + 12 = 252
Ergebnis:
252

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    3. 90 − 3 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    3. 540 − 9 = 531
    Ergebnis:
    531
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
    3. 450 + 63 = 513
    Ergebnis:
    513

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 245 : 5
Schritt für Schritt
  1. 245 = 200 + 45
  2. 200 : 5 = 40 und 45 : 5 = 9
  3. 40 + 9 = 49
  1. 245 = 200 + 45
  2. 200 : 5 = 40 und 45 : 5 = 9
  3. 40 + 9 = 49
Ergebnis:
49

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 124 : 4
    So fängst du an:
    124 = 120 + 4
    Lösung zeigen
    1. 124 = 120 + 4
    2. 120 : 4 = 30 und 4 : 4 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●11
    Zerlege 48 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 48 : 3?
    48: 3
    Lösung zeigen
    1. 48 = 30 + 18
    2. 30 : 3 = 10 und 18 : 3 = 6
    3. 10 + 6 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★12
    580 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 580 : 4
    2. 580 = 560 + 20
    3. 560 : 4 = 140 und 20 : 4 = 5
    4. 140 + 5 = 145
    Ergebnis:
    145 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 83 + 47 = 82 + ___
Schritt für Schritt
  1. 83 wird zu 82: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 47 um 1 größer.
  3. 47 + 1 = 48
  1. 83 wird zu 82: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 47 um 1 größer.
  3. 47 + 1 = 48
Ergebnis:
48

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 3 = 2 · ___
    4 · 3=2 · ?
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 76 + 12 = 78 + ___
    76 + 12=78 + ?
    Lösung zeigen
    1. 76 wird zu 78: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 12 um 2 kleiner.
    3. 12 − 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 82 + 14 = 80 + ___
    Lösung zeigen
    1. 82 wird zu 80: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 2 größer.
    3. 14 + 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 15 + 72 + 85? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 72 = 172
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 72 = 172
Ergebnis:
vertauschen, 172

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 35 + 48 + 65? Nenne ihn und rechne.
    35 + 48 + 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 35 + 65 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    vertauschen, 148
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 34 + 27 + 66? Nenne ihn und rechne.
    34 + 27 + 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 34 + 66 = 100
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    vertauschen, 127

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea erhält für 68 · 22 das Ergebnis 1496. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1496 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 68 · 22 = 1496
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1496 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 68 · 22 = 1496
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1496

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 669 − 134 und erhält 635. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 635 + 134 = 769
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 635 + 134 = 769
    2. 769 ist nicht 669: Es ist falsch.
    3. 669 − 134 = 535
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 535
  2. ●23
    Emma rechnet 612 : 9 und erhält 68. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    612 : 9Ergebnis 68?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 68 · 9 = 612
    2. 612 ist genau 612: Es stimmt.
    3. 612 : 9 = 68
    Ergebnis:
    stimmt, 68
  3. ★24
    Lea erhält für 290 · 37 das Ergebnis 10.630. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 10.630 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 290 · 37 = 10.730
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 10.730

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 5 + 61 + 45 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    56145
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 45 + 61
    2. 5 + 45 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 61 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 2 · 17 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2175
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 17
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 17 = 170
    Ergebnis:
    170
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 54 = 300 + ___
    29754
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 54 um 3 kleiner werden: 54 − 3 = 51
    3. 300 + 51 = 351
    Ergebnis:
    51
  4. ●28
    Tom rechnet 175 − 38 als 175 − 40 und erhält 135. Ist das schon das Ergebnis?
    175 − 38175 − 40
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 135 + 2 = 137
    Ergebnis:
    Nein, 137
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2073
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 7 = 21
    3. Zusammen: 60 + 21 = 81
    Ergebnis:
    81 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 42 + 63 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    374263
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    142

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 89 = 200 + ___
    19889
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    261

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 318 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 82 − 19 = ___ − 21
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 408 : 6 und erhält 69. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    408 : 6Ergebnis 69?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 68

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 76
  2. 79
  3. 547
  4. 66
  5. 357
  6. 1194
  7. 87
  8. 531
  9. 513
  10. 31
  11. 16
  12. 145 Bücher
  13. 6
  14. 10
  15. 16
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 210
  18. 810
  19. vertauschen, 148
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. vertauschen, 127
  22. falsch, richtig ist 535
  23. stimmt, 68
  24. falsch, richtig ist 10.730
  25. 111
  26. 170
  27. 51
  28. Nein, 137
  29. 472
  30. 81 Kästchen
  31. 142
  32. 87
  33. 261
  34. 53
  35. 84
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 68
  39. 10
  40. 18
  41. 55
  42. 15