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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 2 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
    2. 3 + 8 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 6 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 7 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 6 = 42
    2. 2 + 42 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 67. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 12 + 59 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
12598
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 59
  2. 12 + 8 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 59 = 79
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 59
  2. 12 + 8 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 59 = 79
Ergebnis:
79

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 19 + 86 + 41 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    198641
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 41 + 86
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 41 + 86
    2. 19 + 41 = 60
    3. 60 + 86 = 146
    Ergebnis:
    146
  2. ●2
    Milan rechnet 16 + 57 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    16574
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 4 + 57
    2. 16 + 4 = 20
    3. 20 + 57 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★3
    Aylin rechnet 925 + 589 + 75 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    92558975
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 925 + 75 + 589
    2. 925 + 75 = 1000
    3. 1000 + 589 = 1589
    Ergebnis:
    1589

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 28 = 70 + ___
6928
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 28 um 1 kleiner werden: 28 − 1 = 27
  3. 70 + 27 = 97
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 28 um 1 kleiner werden: 28 − 1 = 27
  3. 70 + 27 = 97
Ergebnis:
27

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 57 = 300 + ___
    29857
    So fängst du an:
    298 wird zu 300: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 57 um 2 kleiner werden: 57 − 2 = 55
    3. 300 + 55 = 355
    Ergebnis:
    55
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 69 = 100 + ___
    9769
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 69 um 3 kleiner werden: 69 − 3 = 66
    3. 100 + 66 = 166
    Ergebnis:
    66
  3. ★6
    Zeynep rechnet 499 + 646 als 500 + 646. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    499646
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 499 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 500 + 646 = 1146.
    3. 1 wieder abziehen: 1146 − 1 = 1145
    Ergebnis:
    1145

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Hefte mit je 15 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 6 · 10 = 60 und 6 · 5 = 30
  4. 60 + 30 = 90
  1. 6 · 15
  2. 15 = 10 + 5
  3. 6 · 10 = 60 und 6 · 5 = 30
  4. 60 + 30 = 90
Ergebnis:
90 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 4 · 181
    Lösung zeigen
    1. 181 = 100 + 80 + 1
    2. 4 · 100 = 400; 4 · 80 = 320; 4 · 1 = 4
    3. 400 + 320 + 4 = 724
    Ergebnis:
    724

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 259 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 259 : 7?
259: 7
Schritt für Schritt
  1. 259 = 210 + 49
  2. 210 : 7 = 30 und 49 : 7 = 7
  3. 30 + 7 = 37
  1. 259 = 210 + 49
  2. 210 : 7 = 30 und 49 : 7 = 7
  3. 30 + 7 = 37
Ergebnis:
37

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 162 : 6
    So fängst du an:
    162 = 120 + 42
    Lösung zeigen
    1. 162 = 120 + 42
    2. 120 : 6 = 20 und 42 : 6 = 7
    3. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●11
    252 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 252 : 9
    2. 252 = 180 + 72
    3. 180 : 9 = 20 und 72 : 9 = 8
    4. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 144 : 4
    Lösung zeigen
    1. 144 = 120 + 24
    2. 120 : 4 = 30 und 24 : 4 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 53 + 48 = 51 + ___
Schritt für Schritt
  1. 53 wird zu 51: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 2 größer.
  3. 48 + 2 = 50
  1. 53 wird zu 51: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 2 größer.
  3. 48 + 2 = 50
Ergebnis:
50

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 80 + 57 = 78 + ___
    80 + 57=78 + ?
    So fängst du an:
    80 wird zu 78: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 80 wird zu 78: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 57 um 2 größer.
    3. 57 + 2 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 52 − 33 = ___ − 35
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 35: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 2 größer.
    3. 52 + 2 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 89 + 26 = 92 + ___
    89 + 26=92 + ?
    Lösung zeigen
    1. 89 wird zu 92: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 26 um 3 kleiner.
    3. 26 − 3 = 23
    Ergebnis:
    23

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Emma verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 215 + 598? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 215 + 598 = 213 + 600
  3. 213 + 600 = 813
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 215 + 598 = 213 + 600
  3. 213 + 600 = 813
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 813

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 325 + 399? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 325 + 399 = 324 + 400
    3. 324 + 400 = 724
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 724
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 24 + 33 + 76? Nenne ihn und rechne.
    24 + 33 + 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    vertauschen, 133
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 2708 − 2173? Nenne ihn und rechne.
    2708 − 2173zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 2708 − 2173 = 535
    Ergebnis:
    schriftlich, 535

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah erhält für 49 · 31 das Ergebnis 1419. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
  2. 1419 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 49 · 31 = 1519
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
  2. 1419 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 49 · 31 = 1519
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1519

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan erhält für 48 · 32 das Ergebnis 1536. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 30 = 1500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
    2. 1536 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 48 · 32 = 1536
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1536
  2. ●23
    Hanna rechnet 521 − 399 und erhält 142. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 142 + 399 = 541
    2. 541 ist nicht 521: Es ist falsch.
    3. 521 − 399 = 122
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 122
  3. ★24
    Sofia erhält für 183 · 13 das Ergebnis 2179. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 10 = 2000
    2. 2179 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 183 · 13 = 2379
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2379

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 16 + 18 + 14
    161814
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 14 + 18
    2. 16 + 14 = 30
    3. 30 + 18 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 7 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    7502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 7
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 96
    29896
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 96 gibt 2 ab.
    2. 298 + 96 = 300 + 94
    3. 300 + 94 = 394
    Ergebnis:
    394
  4. ●28
    Aylin rechnet 196 − 38 als 196 − 40 und erhält 156. Ist das schon das Ergebnis?
    196 − 38196 − 40
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 156 + 2 = 158
    Ergebnis:
    Nein, 158
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 31
    Lösung zeigen
    1. 31 = 30 + 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 + 6 = 186
    Ergebnis:
    186
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 24?
    2047
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 4 = 28
    3. 7 · 24 = 140 + 28 = 168
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 4, zusammen 168

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 28 + 57 + 12
    285712
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    97

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 92
    3992
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    131

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 34
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    204

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 72 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 11 = 7 · ___
    14 · 11=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Tom verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 161 + 198? Nenne ihn und rechne.
    161 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 359

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep erhält für 54 · 27 das Ergebnis 1458. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1458

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 146
  2. 77
  3. 1589
  4. 55
  5. 66
  6. 1145
  7. 312
  8. 195
  9. 724
  10. 27
  11. 28 Bücher
  12. 36
  13. 59
  14. 54
  15. 23
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 210
  18. 180
  19. gegensinnig verändern, 724
  20. vertauschen, 133
  21. schriftlich, 535
  22. stimmt, 1536
  23. falsch, richtig ist 122
  24. falsch, richtig ist 2379
  25. 48
  26. 700
  27. 394
  28. Nein, 158
  29. 186
  30. 7 · 20 und 7 · 4, zusammen 168
  31. 97
  32. 131
  33. 204
  34. 24
  35. 22
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. gegensinnig verändern, 359
  38. stimmt, 1458
  39. 11
  40. 90
  41. 44
  42. 35