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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 5 + 4 = 9
    Ergebnis:
    9
  2. ●40
    Rechne: (3 + 3) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 3 = 6
    2. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 9 + 35 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 76. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 7 + 85 + 53 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
78553
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 53 + 85
  2. 7 + 53 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 85 = 145
  1. Vertauschen: 7 + 53 + 85
  2. 7 + 53 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 85 = 145
Ergebnis:
145

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 72 + 53 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    77253
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 53 + 72
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 53 + 72
    2. 7 + 53 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 72 = 132
    Ergebnis:
    132
  2. ●2
    Rechne geschickt: 74 + 47 + 26
    744726
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 74 + 26 + 47
    2. 74 + 26 = 100
    3. 100 + 47 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★3
    Mia rechnet 21 + 877 + 33 + 179 + 67 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    218773317967
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 179 + 33 + 67 + 877
    2. 21 + 179 = 200 und 33 + 67 = 100
    3. 200 + 100 + 877 = 1177
    Ergebnis:
    1177

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 83 = 100 + ___
9983
Schritt für Schritt
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 83 um 1 kleiner werden: 83 − 1 = 82
  3. 100 + 82 = 182
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 83 um 1 kleiner werden: 83 − 1 = 82
  3. 100 + 82 = 182
Ergebnis:
82

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Paul rechnet 99 + 24 als 100 + 24. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    9924
    So fängst du an:
    Paul hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 24 = 124.
    3. 1 wieder abziehen: 124 − 1 = 123
    Ergebnis:
    123
  2. ●5
    Aylin rechnet 297 + 28 als 300 + 28. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    29728
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 28 = 328.
    3. 3 wieder abziehen: 328 − 3 = 325
    Ergebnis:
    325
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 698 + 468
    698468
    Lösung zeigen
    1. 698 bekommt 2 dazu, 468 gibt 2 ab.
    2. 698 + 468 = 700 + 466
    3. 700 + 466 = 1166
    Ergebnis:
    1166

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 36
Schritt für Schritt
  1. 36 = 30 + 6
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 6 = 42
  3. 210 + 42 = 252
  1. 36 = 30 + 6
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 6 = 42
  3. 210 + 42 = 252
Ergebnis:
252

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 47
    So fängst du an:
    47 = 40 + 7
    Lösung zeigen
    1. 47 = 40 + 7
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 7 = 28
    3. 160 + 28 = 188
    Ergebnis:
    188
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 16
    Lösung zeigen
    1. 16 = 10 + 6
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
    3. 90 + 54 = 144
    Ergebnis:
    144
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 342
    Lösung zeigen
    1. 342 = 300 + 40 + 2
    2. 8 · 300 = 2400; 8 · 40 = 320; 8 · 2 = 16
    3. 2400 + 320 + 16 = 2736
    Ergebnis:
    2736

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 208 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 208 : 8?
208: 8
Schritt für Schritt
  1. 208 = 160 + 48
  2. 160 : 8 = 20 und 48 : 8 = 6
  3. 20 + 6 = 26
  1. 208 = 160 + 48
  2. 160 : 8 = 20 und 48 : 8 = 6
  3. 20 + 6 = 26
Ergebnis:
26

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 264 : 8
    So fängst du an:
    264 = 240 + 24
    Lösung zeigen
    1. 264 = 240 + 24
    2. 240 : 8 = 30 und 24 : 8 = 3
    3. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●11
    464 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 464 : 8
    2. 464 = 400 + 64
    3. 400 : 8 = 50 und 64 : 8 = 8
    4. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58 Murmeln
  3. ★12
    489 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 489 : 3
    2. 489 = 480 + 9
    3. 480 : 3 = 160 und 9 : 3 = 3
    4. 160 + 3 = 163
    Ergebnis:
    163 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 48 + 29 = 58 + ___
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 58: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 10 kleiner.
  3. 29 − 10 = 19
  1. 48 wird zu 58: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 10 kleiner.
  3. 29 − 10 = 19
Ergebnis:
19

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 74 − 56 = ___ − 61
    So fängst du an:
    56 wird zu 61: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 56 wird zu 61: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 5 größer.
    3. 74 + 5 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 63 + 74 = 61 + ___
    63 + 74=61 + ?
    Lösung zeigen
    1. 63 wird zu 61: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 2 größer.
    3. 74 + 2 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 3 · 32 + 3 · 8 = 3 · ___
    3 · 32 + 3 · 8=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 3.
    2. 3 mal 32 und 3 mal 8 sind zusammen 3 mal (32 + 8).
    3. 32 + 8 = 40
    Ergebnis:
    40

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Ben verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 85? Nenne ihn und rechne.
5 · 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
  2. 5 · 80 = 400 und 5 · 5 = 25
  3. Zusammen: 425
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
  2. 5 · 80 = 400 und 5 · 5 = 25
  3. Zusammen: 425
Ergebnis:
zerlegen, 425

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 42 + 61 + 58? Nenne ihn und rechne.
    42 + 61 + 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 42 + 58 = 100
    3. 100 + 61 = 161
    Ergebnis:
    vertauschen, 161
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 70? Nenne ihn und rechne.
    5 · 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 0 = 0
    3. Zusammen: 350
    Ergebnis:
    zerlegen, 350
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8288 − 5810? Nenne ihn und rechne.
    8288 − 5810zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 8288 − 5810 = 2478
    Ergebnis:
    schriftlich, 2478

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia erhält für 78 · 40 das Ergebnis 3220. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3220 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 78 · 40 = 3120
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3220 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 78 · 40 = 3120
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3120

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 420 − 336 und erhält 74. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 74 + 336 = 410
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 74 + 336 = 410
    2. 410 ist nicht 420: Es ist falsch.
    3. 420 − 336 = 84
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 84
  2. ●23
    Emma rechnet 623 : 7 und erhält 89. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    623 : 7Ergebnis 89?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 89 · 7 = 623
    2. 623 ist genau 623: Es stimmt.
    3. 623 : 7 = 89
    Ergebnis:
    stimmt, 89
  3. ★24
    Aylin rechnet 6291 : 9 und erhält 701. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    6291 : 9Ergebnis 701?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 701 · 9 = 6309
    2. 6309 ist nicht 6291: Es ist falsch.
    3. 6291 : 9 = 699
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 699

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 17 + 65 + 23
    176523
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 23 + 65
    2. 17 + 23 = 40
    3. 40 + 65 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 5 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten5 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 5
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 69 = 300 + ___
    29769
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 69 um 3 kleiner werden: 69 − 3 = 66
    3. 300 + 66 = 366
    Ergebnis:
    66
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 142 − 49
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 142 − 49 = 143 − 50
    3. 143 − 50 = 93
    Ergebnis:
    93
  5. ●29
    Es gibt 8 Hefte mit je 27 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 27
    2. 27 = 20 + 7
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 7 = 56
    4. 160 + 56 = 216
    Ergebnis:
    216 Hefte
  6. ●30
    Tom rechnet 3 · 25 so: erst 3 · 20, dann 5 dazu. Tom erhält 65. Zeige am Bild, was fehlt.
    2053
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 3 · 5 = 15
    3. 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Noah rechnet 12 + 64 + 48 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    126448
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    124

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 57 = 200 + ___
    19757
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    469 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 56 + 43 = 59 + ___
    56 + 43=59 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 22 + 55 + 78? Nenne ihn und rechne.
    22 + 55 + 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 155

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin erhält für 26 · 22 das Ergebnis 672. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 572

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 132
  2. 147
  3. 1177
  4. 123
  5. 325
  6. 1166
  7. 188
  8. 144
  9. 2736
  10. 33
  11. 58 Murmeln
  12. 163 Bücher
  13. 79
  14. 76
  15. 40
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 900
  19. vertauschen, 161
  20. zerlegen, 350
  21. schriftlich, 2478
  22. falsch, richtig ist 84
  23. stimmt, 89
  24. falsch, richtig ist 699
  25. 105
  26. 500 Bälle
  27. 66
  28. 93
  29. 216 Hefte
  30. 75
  31. 124
  32. 54
  33. 95
  34. 67 Sticker
  35. 40
  36. 200
  37. vertauschen, 155
  38. falsch, richtig ist 572
  39. 9
  40. 12
  41. 44
  42. 44