Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 5 + 16 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 12 + 27 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 16 und erhalte 72. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 16 + 19 + 4
16194
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 19
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 19 = 39
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 19
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 19 = 39
Ergebnis:
39

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 17 + 61 + 43
    176143
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 43 + 61
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 43 + 61
    2. 17 + 43 = 60
    3. 60 + 61 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 67 + 46 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    146746
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 46 + 67
    2. 14 + 46 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 67 = 127
    Ergebnis:
    127
  3. ★3
    Aylin rechnet 134 + 881 + 166 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    134881166
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 134 + 166 + 881
    2. 134 + 166 = 300
    3. 300 + 881 = 1181
    Ergebnis:
    1181

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lina rechnet 298 + 26 als 300 + 26. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
29826
Schritt für Schritt
  1. Lina hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 26 = 326.
  3. 2 wieder abziehen: 326 − 2 = 324
  1. Lina hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 26 = 326.
  3. 2 wieder abziehen: 326 − 2 = 324
Ergebnis:
324

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 54
    9754
    So fängst du an:
    97 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
    2. 97 + 54 = 100 + 51
    3. 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    151
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 95 = 300 + ___
    29895
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 95 um 2 kleiner werden: 95 − 2 = 93
    3. 300 + 93 = 393
    Ergebnis:
    93
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 697 + 739 = 700 + ___
    697739
    Lösung zeigen
    1. 697 wird zu 700: 3 mehr.
    2. Also muss 739 um 3 kleiner werden: 739 − 3 = 736
    3. 700 + 736 = 1436
    Ergebnis:
    736

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
Ergebnis:
472

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 24
    So fängst du an:
    24 = 20 + 4
    Lösung zeigen
    1. 24 = 20 + 4
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 4 = 12
    3. 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    72
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 9 · 200 = 1800 und 9 · 2 = 18
    3. 1800 − 18 = 1782
    Ergebnis:
    1782

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

333 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 333 : 9
  2. 333 = 270 + 63
  3. 270 : 9 = 30 und 63 : 9 = 7
  4. 30 + 7 = 37
  1. 333 : 9
  2. 333 = 270 + 63
  3. 270 : 9 = 30 und 63 : 9 = 7
  4. 30 + 7 = 37
Ergebnis:
37 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    186 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    186 : 3
    Lösung zeigen
    1. 186 : 3
    2. 186 = 180 + 6
    3. 180 : 3 = 60 und 6 : 3 = 2
    4. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62 Bücher
  2. ●11
    441 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 441 : 9
    2. 441 = 360 + 81
    3. 360 : 9 = 40 und 81 : 9 = 9
    4. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49 Bücher
  3. ★12
    828 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 828 : 9
    2. 828 = 810 + 18
    3. 810 : 9 = 90 und 18 : 9 = 2
    4. 90 + 2 = 92
    Ergebnis:
    92 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 12 = 3 · ___
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 13 + 73 = 11 + ___
    13 + 73=11 + ?
    So fängst du an:
    13 wird zu 11: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 13 wird zu 11: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 73 um 2 größer.
    3. 73 + 2 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 16 · 6 = 8 · ___
    16 · 6=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 62 + 75 = 61 + ___
    Lösung zeigen
    1. 62 wird zu 61: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 1 größer.
    3. 75 + 1 = 76
    Ergebnis:
    76

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Sofia verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 384 + 497? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 384 + 497 = 381 + 500
  3. 381 + 500 = 881
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 384 + 497 = 381 + 500
  3. 381 + 500 = 881
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 881

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 40 + 72 + 60? Nenne ihn und rechne.
    40 + 72 + 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 40 + 60 = 100
    3. 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    vertauschen, 172
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 196 + 399? Nenne ihn und rechne.
    196 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 196 + 399 = 195 + 400
    3. 195 + 400 = 595
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 595
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 305 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 305 + 598 = 303 + 600
    3. 303 + 600 = 903
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 903

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea erhält für 67 · 33 das Ergebnis 2011. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
  2. 2011 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 67 · 33 = 2211
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
  2. 2011 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 67 · 33 = 2211
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2211

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 492 − 213 und erhält 269. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 269 + 213 = 482
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 269 + 213 = 482
    2. 482 ist nicht 492: Es ist falsch.
    3. 492 − 213 = 279
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 279
  2. ●23
    Aylin rechnet 567 : 9 und erhält 65. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    567 : 9Ergebnis 65?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 65 · 9 = 585
    2. 585 ist nicht 567: Es ist falsch.
    3. 567 : 9 = 63
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 63
  3. ★24
    Milan rechnet 3286 − 1489 und erhält 1897. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1897 + 1489 = 3386
    2. 3386 ist nicht 3286: Es ist falsch.
    3. 3286 − 1489 = 1797
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1797

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Tom rechnet 44 + 49 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    44496
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 6 + 49
    2. 44 + 6 = 50
    3. 50 + 49 = 99
    Ergebnis:
    99
  2. ●26
    Rechne geschickt: 18 · 50 · 2
    18502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 18
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800
  3. ●27
    Milan rechnet 49 + 96 als 50 + 96. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    4996
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 96 = 146.
    3. 1 wieder abziehen: 146 − 1 = 145
    Ergebnis:
    145
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 167 − 27
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 167 − 27 = 170 − 30
    3. 170 − 30 = 140
    Ergebnis:
    140
  5. ●29
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2017
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 1 = 7
    3. Zusammen: 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    147 Kästchen
  6. ●30
    351 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 351 : 9
    2. 351 = 270 + 81
    3. 270 : 9 = 30 und 81 : 9 = 9
    4. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Bücher

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Paul rechnet 7 + 66 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    76613
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    86

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 74 = 200 + ___
    19774
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    71

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 52
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    416

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 126 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 126 : 7?
    126: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 13 + 75 = 12 + ___
    13 + 75=12 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 35 + 21 + 65? Nenne ihn und rechne.
    35 + 21 + 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 121

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben erhält für 43 · 27 das Ergebnis 1361. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1161

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 121
  2. 127
  3. 1181
  4. 151
  5. 93
  6. 736
  7. 72
  8. 147
  9. 1782
  10. 62 Bücher
  11. 49 Bücher
  12. 92 Sticker
  13. 75
  14. 12
  15. 76
  16. 70
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. vertauschen, 172
  20. gegensinnig verändern, 595
  21. gegensinnig verändern, 903
  22. falsch, richtig ist 279
  23. falsch, richtig ist 63
  24. falsch, richtig ist 1797
  25. 99
  26. 1800
  27. 145
  28. 140
  29. 147 Kästchen
  30. 39 Bücher
  31. 86
  32. 71
  33. 416
  34. 18
  35. 76
  36. 400
  37. vertauschen, 121
  38. falsch, richtig ist 1161
  39. 21
  40. 40
  41. 39
  42. 56