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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 30 − 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 30 − 12 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 4 + 6 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 48. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 56 + 36 + 4
56364
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 56 + 4 + 36
  2. 56 + 4 = 60
  3. 60 + 36 = 96
  1. Vertauschen: 56 + 4 + 36
  2. 56 + 4 = 60
  3. 60 + 36 = 96
Ergebnis:
96

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 45 + 28 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    452815
    So fängst du an:
    Vertauschen: 45 + 15 + 28
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 45 + 15 + 28
    2. 45 + 15 = 60
    3. 60 + 28 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 56 + 76 + 4 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    56764
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 4 + 76
    2. 56 + 4 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 76 = 136
    Ergebnis:
    136
  3. ★3
    Rechne geschickt: 96 + 366 + 45 + 4 + 55
    9636645455
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 96 + 4 + 45 + 55 + 366
    2. 96 + 4 = 100 und 45 + 55 = 100
    3. 100 + 100 + 366 = 566
    Ergebnis:
    566

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Sofia rechnet 68 + 63 als 70 + 63. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
6863
Schritt für Schritt
  1. Sofia hat 68 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 63 = 133.
  3. 2 wieder abziehen: 133 − 2 = 131
  1. Sofia hat 68 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 63 = 133.
  3. 2 wieder abziehen: 133 − 2 = 131
Ergebnis:
131

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 96 = 100 + ___
    9896
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 96 um 2 kleiner werden: 96 − 2 = 94
    3. 100 + 94 = 194
    Ergebnis:
    94
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 48
    9948
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 48 gibt 1 ab.
    2. 99 + 48 = 100 + 47
    3. 100 + 47 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★6
    Emma rechnet 1997 + 939 als 2000 + 939. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    1997939
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 1997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 2000 + 939 = 2939.
    3. 3 wieder abziehen: 2939 − 3 = 2936
    Ergebnis:
    2936

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 54
Schritt für Schritt
  1. 54 = 50 + 4
  2. 8 · 50 = 400 und 8 · 4 = 32
  3. 400 + 32 = 432
  1. 54 = 50 + 4
  2. 8 · 50 = 400 und 8 · 4 = 32
  3. 400 + 32 = 432
Ergebnis:
432

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234
  2. ●8
    Es gibt 4 Reihen mit je 23 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 23
    2. 23 = 20 + 3
    3. 4 · 20 = 80 und 4 · 3 = 12
    4. 80 + 12 = 92
    Ergebnis:
    92 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 135
    Lösung zeigen
    1. 135 = 100 + 30 + 5
    2. 7 · 100 = 700; 7 · 30 = 210; 7 · 5 = 35
    3. 700 + 210 + 35 = 945
    Ergebnis:
    945

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

198 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 198 : 9
  2. 198 = 180 + 18
  3. 180 : 9 = 20 und 18 : 9 = 2
  4. 20 + 2 = 22
  1. 198 : 9
  2. 198 = 180 + 18
  3. 180 : 9 = 20 und 18 : 9 = 2
  4. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 153 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 153 : 9?
    153: 9
    So fängst du an:
    153 = 90 + 63
    Lösung zeigen
    1. 153 = 90 + 63
    2. 90 : 9 = 10 und 63 : 9 = 7
    3. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●11
    Zerlege 459 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 459 : 9?
    459: 9
    Lösung zeigen
    1. 459 = 450 + 9
    2. 450 : 9 = 50 und 9 : 9 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★12
    Zerlege 375 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 375 : 3?
    375: 3
    Lösung zeigen
    1. 375 = 360 + 15
    2. 360 : 3 = 120 und 15 : 3 = 5
    3. 120 + 5 = 125
    Ergebnis:
    125

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 28 + 18 = 29 + ___
28 + 18=29 + ?
Schritt für Schritt
  1. 28 wird zu 29: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 18 um 1 kleiner.
  3. 18 − 1 = 17
  1. 28 wird zu 29: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 18 um 1 kleiner.
  3. 18 − 1 = 17
Ergebnis:
17

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 13 = 3 · ___
    6 · 13=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 16 · 7 = 8 · ___
    16 · 7=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 5 · 59 + 5 · 3 = 5 · ___
    5 · 59 + 5 · 3=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 59 und 5 mal 3 sind zusammen 5 mal (59 + 3).
    3. 59 + 3 = 62
    Ergebnis:
    62

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 43 + 58 + 57? Nenne ihn und rechne.
43 + 58 + 57zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 43 + 57 = 100
  3. 100 + 58 = 158
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 43 + 57 = 100
  3. 100 + 58 = 158
Ergebnis:
vertauschen, 158

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 + 46 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 46 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 46 = 146
    Ergebnis:
    vertauschen, 146
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 45? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 5 = 40
    3. Zusammen: 360
    Ergebnis:
    zerlegen, 360
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 340 + 497? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 340 + 497 = 337 + 500
    3. 337 + 500 = 837
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 837

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 973 − 668 und erhält 305. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 305 + 668 = 973
  2. 973 ist genau 973: Es stimmt.
  3. 973 − 668 = 305
  1. Umkehraufgabe: 305 + 668 = 973
  2. 973 ist genau 973: Es stimmt.
  3. 973 − 668 = 305
Ergebnis:
stimmt, 305

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep erhält für 53 · 21 das Ergebnis 1313. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 20 = 1000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 1313 liegt zu weit weg. Genau: 53 · 21 = 1113
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1113
  2. ●23
    Can rechnet 427 − 299 und erhält 228. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 228 + 299 = 527
    2. 527 ist nicht 427: Es ist falsch.
    3. 427 − 299 = 128
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 128
  3. ★24
    Ben rechnet 2072 : 4 und erhält 519. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2072 : 4Ergebnis 519?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 519 · 4 = 2076
    2. 2076 ist nicht 2072: Es ist falsch.
    3. 2072 : 4 = 518
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 518

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 11 + 82 + 19
    118219
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 82
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 82 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 5 · 6 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    562
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 6
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 28 = 200 + ___
    19928
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    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 28 um 1 kleiner werden: 28 − 1 = 27
    3. 200 + 27 = 227
    Ergebnis:
    27
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 193 − 98 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 193 um 2 größer: 195.
    3. 195 − 100 = 95
    Ergebnis:
    195
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 40 + 9
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 9 = 45
    3. 200 + 45 = 245
    Ergebnis:
    245
  6. ●30
    Hanna rechnet 6 · 14 so: erst 6 · 10, dann 4 dazu. Hanna erhält 64. Zeige am Bild, was fehlt.
    1046
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 6 · 4 = 24
    3. 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 16 + 69 + 14
    166914
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    99

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 77 = 100 + ___
    9777
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    74

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Tüten mit je 34 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 390 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 53 + 54 = 43 + ___
    53 + 54=43 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 659 − 180 und erhält 479. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 479

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 88
  2. 136
  3. 566
  4. 94
  5. 147
  6. 2936
  7. 234
  8. 92 Stühle
  9. 945
  10. 17
  11. 51
  12. 125
  13. 26
  14. 14
  15. 62
  16. 80
  17. 210
  18. 490
  19. vertauschen, 146
  20. zerlegen, 360
  21. gegensinnig verändern, 837
  22. falsch, richtig ist 1113
  23. falsch, richtig ist 128
  24. falsch, richtig ist 518
  25. 112
  26. 60
  27. 27
  28. 195
  29. 245
  30. 84
  31. 99
  32. 74
  33. 102 Bonbons
  34. 65
  35. 64
  36. 70
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. stimmt, 479
  39. 18
  40. 16
  41. 10
  42. 29