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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 8 + 16 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●40
    Rechne: (5 + 7) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 7 = 12
    2. 12 · 4 = 48
    Ergebnis:
    48

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 6 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 7 = 42
    2. 7 + 42 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 13 und erhalte 53. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Sofia rechnet 5 + 43 + 25 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
54325
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 25 + 43
  2. 5 + 25 = 30
  3. 30 + 43 = 73
  1. Vertauschen: 5 + 25 + 43
  2. 5 + 25 = 30
  3. 30 + 43 = 73
Ergebnis:
73

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 24 + 29 + 16
    242916
    So fängst du an:
    Vertauschen: 24 + 16 + 29
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 16 + 29
    2. 24 + 16 = 40
    3. 40 + 29 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 56 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    65614
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 56
    2. 6 + 14 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 56 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★3
    Rechne geschickt: 803 + 631 + 85 + 197 + 15
    8036318519715
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 803 + 197 + 85 + 15 + 631
    2. 803 + 197 = 1000 und 85 + 15 = 100
    3. 1000 + 100 + 631 = 1731
    Ergebnis:
    1731

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 24 = 70 + ___
6724
Schritt für Schritt
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 24 um 3 kleiner werden: 24 − 3 = 21
  3. 70 + 21 = 91
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 24 um 3 kleiner werden: 24 − 3 = 21
  3. 70 + 21 = 91
Ergebnis:
21

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 68
    29868
    So fängst du an:
    298 bekommt 2 dazu, 68 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 68 gibt 2 ab.
    2. 298 + 68 = 300 + 66
    3. 300 + 66 = 366
    Ergebnis:
    366
  2. ●5
    Paul rechnet 99 + 45 als 100 + 45. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    9945
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 45 = 145.
    3. 1 wieder abziehen: 145 − 1 = 144
    Ergebnis:
    144
  3. ★6
    Aylin rechnet 996 + 765 als 1000 + 765. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    996765
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 1000 + 765 = 1765.
    3. 4 wieder abziehen: 1765 − 4 = 1761
    Ergebnis:
    1761

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
Ergebnis:
472

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Tüten mit je 25 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 25
    Lösung zeigen
    1. 3 · 25
    2. 25 = 20 + 5
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 5 = 15
    4. 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 4 Tüten mit je 32 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 32
    2. 32 = 30 + 2
    3. 4 · 30 = 120 und 4 · 2 = 8
    4. 120 + 8 = 128
    Ergebnis:
    128 Bonbons
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 558 : 9
Schritt für Schritt
  1. 558 = 540 + 18
  2. 540 : 9 = 60 und 18 : 9 = 2
  3. 60 + 2 = 62
  1. 558 = 540 + 18
  2. 540 : 9 = 60 und 18 : 9 = 2
  3. 60 + 2 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    330 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    330 : 5
    Lösung zeigen
    1. 330 : 5
    2. 330 = 300 + 30
    3. 300 : 5 = 60 und 30 : 5 = 6
    4. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66 Sticker
  2. ●11
    135 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 135 : 3
    2. 135 = 120 + 15
    3. 120 : 3 = 40 und 15 : 3 = 5
    4. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45 Murmeln
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 504 : 6
    Lösung zeigen
    1. 504 = 480 + 24
    2. 480 : 6 = 80 und 24 : 6 = 4
    3. 80 + 4 = 84
    Ergebnis:
    84

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 12 · 9 = 6 · ___
12 · 9=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 48 − 16 = ___ − 26
    So fängst du an:
    16 wird zu 26: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 26: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 10 größer.
    3. 48 + 10 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 15 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 9 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 75? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
  2. 9 · 70 = 630 und 9 · 5 = 45
  3. Zusammen: 675
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
  2. 9 · 70 = 630 und 9 · 5 = 45
  3. Zusammen: 675
Ergebnis:
zerlegen, 675

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 + 43 + 84? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 16 + 84 = 100
    3. 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    vertauschen, 143
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 88? Nenne ihn und rechne.
    4 · 88zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 88 = 80 + 8.
    2. 4 · 80 = 320 und 4 · 8 = 32
    3. Zusammen: 352
    Ergebnis:
    zerlegen, 352
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 671 − 182 und erhält 589. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 589 + 182 = 771
  2. 771 ist nicht 671: Es ist falsch.
  3. 671 − 182 = 489
  1. Umkehraufgabe: 589 + 182 = 771
  2. 771 ist nicht 671: Es ist falsch.
  3. 671 − 182 = 489
Ergebnis:
falsch, richtig ist 489

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 365 : 5 und erhält 73. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    365 : 5Ergebnis 73?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 73 · 5 = 365
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 73 · 5 = 365
    2. 365 ist genau 365: Es stimmt.
    3. 365 : 5 = 73
    Ergebnis:
    stimmt, 73
  2. ●23
    Elias rechnet 362 − 212 und erhält 160. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 160 + 212 = 372
    2. 372 ist nicht 362: Es ist falsch.
    3. 362 − 212 = 150
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 150
  3. ★24
    Lina rechnet 3680 : 8 und erhält 462. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3680 : 8Ergebnis 462?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 462 · 8 = 3696
    2. 3696 ist nicht 3680: Es ist falsch.
    3. 3680 : 8 = 460
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 460

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 36 + 25 + 14
    362514
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 14 + 25
    2. 36 + 14 = 50
    3. 50 + 25 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 19 · 20 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    19205
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 19
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 56
    29856
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 56 gibt 2 ab.
    2. 298 + 56 = 300 + 54
    3. 300 + 54 = 354
    Ergebnis:
    354
  4. ●28
    Jonas rechnet 196 − 37 als 196 − 40 und erhält 156. Ist das schon das Ergebnis?
    196 − 37196 − 40
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 156 + 3 = 159
    Ergebnis:
    Nein, 159
  5. ●29
    Es gibt 3 Hefte mit je 52 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 52
    2. 52 = 50 + 2
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 2 = 6
    4. 150 + 6 = 156
    Ergebnis:
    156 Hefte
  6. ●30
    Lina rechnet 7 · 14 so: erst 7 · 10, dann 4 dazu. Lina erhält 74. Zeige am Bild, was fehlt.
    1047
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 7 · 4 = 28
    3. 70 + 28 = 98
    Ergebnis:
    98

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 73 + 78 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    737827
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    178

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Zeynep rechnet 197 + 65 als 200 + 65. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    19765
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    262

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 294 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 18 · 10 = 9 · ___
    18 · 10=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Elias verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 29? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 261

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna rechnet 588 − 332 und erhält 276. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 256

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 69
  2. 76
  3. 1731
  4. 366
  5. 144
  6. 1761
  7. 75 Bonbons
  8. 128 Bonbons
  9. 273
  10. 66 Sticker
  11. 45 Murmeln
  12. 84
  13. 58
  14. 30
  15. 18
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  17. 70
  18. 180
  19. vertauschen, 143
  20. zerlegen, 352
  21. halbieren und verdoppeln, 400
  22. stimmt, 73
  23. falsch, richtig ist 150
  24. falsch, richtig ist 460
  25. 75
  26. 1900
  27. 354
  28. Nein, 159
  29. 156 Hefte
  30. 98
  31. 178
  32. 262
  33. 60
  34. 49
  35. 20
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. zerlegen, 261
  38. falsch, richtig ist 256
  39. 24
  40. 48
  41. 49
  42. 40