Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 7 + 27 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (2 + 2) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 2 = 4
    2. 4 · 4 = 16
    Ergebnis:
    16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 8 + 20 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 35. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 14 + 63 + 16
146316
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 16 + 63
  2. 14 + 16 = 30
  3. 30 + 63 = 93
  1. Vertauschen: 14 + 16 + 63
  2. 14 + 16 = 30
  3. 30 + 63 = 93
Ergebnis:
93

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 44 + 33 + 56 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    443356
    So fängst du an:
    Vertauschen: 44 + 56 + 33
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 56 + 33
    2. 44 + 56 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    133
  2. ●2
    Rechne geschickt: 24 + 24 + 26
    242426
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 26 + 24
    2. 24 + 26 = 50
    3. 50 + 24 = 74
    Ergebnis:
    74
  3. ★3
    Noah rechnet 187 + 234 + 83 + 13 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    187234831317
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 187 + 13 + 83 + 17 + 234
    2. 187 + 13 = 200 und 83 + 17 = 100
    3. 200 + 100 + 234 = 534
    Ergebnis:
    534

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Tom rechnet 97 + 29 als 100 + 29. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
9729
Schritt für Schritt
  1. Tom hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 29 = 129.
  3. 3 wieder abziehen: 129 − 3 = 126
  1. Tom hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 29 = 129.
  3. 3 wieder abziehen: 129 − 3 = 126
Ergebnis:
126

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 67
    29867
    So fängst du an:
    298 bekommt 2 dazu, 67 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 67 gibt 2 ab.
    2. 298 + 67 = 300 + 65
    3. 300 + 65 = 365
    Ergebnis:
    365
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 69
    3769
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 69 gibt 3 ab.
    2. 37 + 69 = 40 + 66
    3. 40 + 66 = 106
    Ergebnis:
    106
  3. ★6
    Milan rechnet 699 + 316 als 700 + 316. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    699316
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 699 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 700 + 316 = 1016.
    3. 1 wieder abziehen: 1016 − 1 = 1015
    Ergebnis:
    1015

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 24
Schritt für Schritt
  1. 24 = 20 + 4
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 4 = 16
  3. 80 + 16 = 96
  1. 24 = 20 + 4
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 4 = 16
  3. 80 + 16 = 96
Ergebnis:
96

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 64
    So fängst du an:
    64 = 60 + 4
    Lösung zeigen
    1. 64 = 60 + 4
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 4 = 28
    3. 420 + 28 = 448
    Ergebnis:
    448
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

255 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 255 : 5
  2. 255 = 250 + 5
  3. 250 : 5 = 50 und 5 : 5 = 1
  4. 50 + 1 = 51
  1. 255 : 5
  2. 255 = 250 + 5
  3. 250 : 5 = 50 und 5 : 5 = 1
  4. 50 + 1 = 51
Ergebnis:
51 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 147 : 7
    So fängst du an:
    147 = 140 + 7
    Lösung zeigen
    1. 147 = 140 + 7
    2. 140 : 7 = 20 und 7 : 7 = 1
    3. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 120 : 5
    Lösung zeigen
    1. 120 = 100 + 20
    2. 100 : 5 = 20 und 20 : 5 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 424 : 8
    Lösung zeigen
    1. 424 = 400 + 24
    2. 400 : 8 = 50 und 24 : 8 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 8 · 5 = 4 · ___
8 · 5=4 · ?
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 68 − 37 = ___ − 47
    So fängst du an:
    37 wird zu 47: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 47: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 10 größer.
    3. 68 + 10 = 78
    Ergebnis:
    78
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 21 + 38 = 19 + ___
    21 + 38=19 + ?
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 19: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 38 um 2 größer.
    3. 38 + 2 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 5 · 69 + 5 · 3 = 5 · ___
    5 · 69 + 5 · 3=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 69 und 5 mal 3 sind zusammen 5 mal (69 + 3).
    3. 69 + 3 = 72
    Ergebnis:
    72

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 46? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 6 = 24
  3. Zusammen: 184
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 6 = 24
  3. Zusammen: 184
Ergebnis:
zerlegen, 184

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 263 + 497? Nenne ihn und rechne.
    263 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 263 + 497 = 260 + 500
    3. 260 + 500 = 760
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 760
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 368 + 198? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 368 + 198 = 366 + 200
    3. 366 + 200 = 566
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 566
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 32 + 45 + 68? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 45 = 145
    Ergebnis:
    vertauschen, 145

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 365 − 213 und erhält 152. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 152 + 213 = 365
  2. 365 ist genau 365: Es stimmt.
  3. 365 − 213 = 152
  1. Umkehraufgabe: 152 + 213 = 365
  2. 365 ist genau 365: Es stimmt.
  3. 365 − 213 = 152
Ergebnis:
stimmt, 152

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 384 − 275 und erhält 129. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 129 + 275 = 404
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 129 + 275 = 404
    2. 404 ist nicht 384: Es ist falsch.
    3. 384 − 275 = 109
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 109
  2. ●23
    Emma rechnet 752 : 8 und erhält 94. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    752 : 8Ergebnis 94?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 94 · 8 = 752
    2. 752 ist genau 752: Es stimmt.
    3. 752 : 8 = 94
    Ergebnis:
    stimmt, 94
  3. ★24
    Paul rechnet 7492 − 2705 und erhält 4787. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4787 + 2705 = 7492
    2. 7492 ist genau 7492: Es stimmt.
    3. 7492 − 2705 = 4787
    Ergebnis:
    stimmt, 4787

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 44 + 15 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    441516
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 16 + 15
    2. 44 + 16 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●26
    Rechne geschickt: 50 · 15 · 2
    50152
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 15
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Sofia rechnet 98 + 43 als 100 + 43. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9843
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 43 = 143.
    3. 2 wieder abziehen: 143 − 2 = 141
    Ergebnis:
    141
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 221 − 198
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 221 − 198 = 223 − 200
    3. 223 − 200 = 23
    Ergebnis:
    23
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 34
    Lösung zeigen
    1. 34 = 30 + 4
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 4 = 12
    3. 90 + 12 = 102
    Ergebnis:
    102
  6. ●30
    Aylin rechnet 4 · 23 so: erst 4 · 20, dann 3 dazu. Aylin erhält 83. Zeige am Bild, was fehlt.
    2034
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 4 · 3 = 12
    3. 80 + 12 = 92
    Ergebnis:
    92

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 44 + 73 + 16
    447316
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Paul rechnet 48 + 29 als 50 + 29. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    4829
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Reihen mit je 23 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    138 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 124 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 41 − 22 = ___ − 27
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Elias verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 42? Nenne ihn und rechne.
    5 · 42zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 210

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 964 − 215 und erhält 849. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 749

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 133
  2. 74
  3. 534
  4. 365
  5. 106
  6. 1015
  7. 448
  8. 413
  9. 177
  10. 21
  11. 24
  12. 53
  13. 78
  14. 40
  15. 72
  16. 90
  17. 90
  18. 900
  19. gegensinnig verändern, 760
  20. gegensinnig verändern, 566
  21. vertauschen, 145
  22. falsch, richtig ist 109
  23. stimmt, 94
  24. stimmt, 4787
  25. 75
  26. 1500
  27. 141
  28. 23
  29. 102
  30. 92
  31. 133
  32. 77
  33. 138 Stühle
  34. 31
  35. 46
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. zerlegen, 210
  38. falsch, richtig ist 749
  39. 34
  40. 16
  41. 28
  42. 10