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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 21 − 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 21 − 16 = 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●40
    Rechne: (8 + 9) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 9 = 17
    2. 17 · 5 = 85
    Ergebnis:
    85

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 6 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 2 = 12
    2. 11 + 12 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 21 und erhalte 77. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Emma rechnet 27 + 42 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
27423
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 27 + 3 + 42
  2. 27 + 3 = 30
  3. 30 + 42 = 72
  1. Vertauschen: 27 + 3 + 42
  2. 27 + 3 = 30
  3. 30 + 42 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 71 + 27 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    712729
    So fängst du an:
    Vertauschen: 71 + 29 + 27
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 71 + 29 + 27
    2. 71 + 29 = 100
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 45 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    24456
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 6 + 45
    2. 24 + 6 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 45 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★3
    Ben rechnet 108 + 897 + 192 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    108897192
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 108 + 192 + 897
    2. 108 + 192 = 300
    3. 300 + 897 = 1197
    Ergebnis:
    1197

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 47 = 200 + ___
19847
Schritt für Schritt
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 47 um 2 kleiner werden: 47 − 2 = 45
  3. 200 + 45 = 245
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 47 um 2 kleiner werden: 47 − 2 = 45
  3. 200 + 45 = 245
Ergebnis:
45

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 73
    3973
    So fängst du an:
    39 bekommt 1 dazu, 73 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 73 gibt 1 ab.
    2. 39 + 73 = 40 + 72
    3. 40 + 72 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●5
    Ben rechnet 99 + 46 als 100 + 46. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    9946
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 46 = 146.
    3. 1 wieder abziehen: 146 − 1 = 145
    Ergebnis:
    145
  3. ★6
    Hanna rechnet 697 + 168 als 700 + 168. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    697168
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 697 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 700 + 168 = 868.
    3. 3 wieder abziehen: 868 − 3 = 865
    Ergebnis:
    865

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 20 + 9
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 9 = 27
  3. 60 + 27 = 87
  1. 29 = 20 + 9
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 9 = 27
  3. 60 + 27 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Tüten mit je 32 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 32
    Lösung zeigen
    1. 8 · 32
    2. 32 = 30 + 2
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 2 = 16
    4. 240 + 16 = 256
    Ergebnis:
    256 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 3 Reihen mit je 15 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 15
    2. 15 = 10 + 5
    3. 3 · 10 = 30 und 3 · 5 = 15
    4. 30 + 15 = 45
    Ergebnis:
    45 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 306 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 306 : 9?
306: 9
Schritt für Schritt
  1. 306 = 270 + 36
  2. 270 : 9 = 30 und 36 : 9 = 4
  3. 30 + 4 = 34
  1. 306 = 270 + 36
  2. 270 : 9 = 30 und 36 : 9 = 4
  3. 30 + 4 = 34
Ergebnis:
34

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    126 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    126 : 9
    Lösung zeigen
    1. 126 : 9
    2. 126 = 90 + 36
    3. 90 : 9 = 10 und 36 : 9 = 4
    4. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 333 : 9
    Lösung zeigen
    1. 333 = 270 + 63
    2. 270 : 9 = 30 und 63 : 9 = 7
    3. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37
  3. ★12
    Zerlege 690 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 690 : 5?
    690: 5
    Lösung zeigen
    1. 690 = 650 + 40
    2. 650 : 5 = 130 und 40 : 5 = 8
    3. 130 + 8 = 138
    Ergebnis:
    138

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 33 + 70 = 31 + ___
33 + 70=31 + ?
Schritt für Schritt
  1. 33 wird zu 31: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 70 um 2 größer.
  3. 70 + 2 = 72
  1. 33 wird zu 31: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 70 um 2 größer.
  3. 70 + 2 = 72
Ergebnis:
72

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 94 − 46 = ___ − 56
    So fängst du an:
    46 wird zu 56: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 46 wird zu 56: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 94 um 10 größer.
    3. 94 + 10 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 73 + 77 = 71 + ___
    73 + 77=71 + ?
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 71: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 77 um 2 größer.
    3. 77 + 2 = 79
    Ergebnis:
    79
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 27 + 73 = 30 + ___
    27 + 73=30 + ?
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 73 um 3 kleiner.
    3. 73 − 3 = 70
    Ergebnis:
    70

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sofia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Noah verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 19 + 36 + 81? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 19 + 81 = 100
  3. 100 + 36 = 136
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 19 + 81 = 100
  3. 100 + 36 = 136
Ergebnis:
vertauschen, 136

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 27 + 27 + 73? Nenne ihn und rechne.
    27 + 27 + 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    vertauschen, 127
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 25 + 39 + 75? Nenne ihn und rechne.
    25 + 39 + 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 25 + 75 = 100
    3. 100 + 39 = 139
    Ergebnis:
    vertauschen, 139
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 74? Nenne ihn und rechne.
    9 · 74zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 74 = 70 + 4.
    2. 9 · 70 = 630 und 9 · 4 = 36
    3. Zusammen: 666
    Ergebnis:
    zerlegen, 666

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 21 · 32 das Ergebnis 572. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 20 · 30 = 600
  2. 572 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 21 · 32 = 672
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 20 · 30 = 600
  2. 572 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 21 · 32 = 672
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 672

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 550 − 310 und erhält 240. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 240 + 310 = 550
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 240 + 310 = 550
    2. 550 ist genau 550: Es stimmt.
    3. 550 − 310 = 240
    Ergebnis:
    stimmt, 240
  2. ●23
    Noah rechnet 499 − 161 und erhält 328. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 328 + 161 = 489
    2. 489 ist nicht 499: Es ist falsch.
    3. 499 − 161 = 338
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 338
  3. ★24
    Jonas erhält für 343 · 49 das Ergebnis 16.907. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 50 = 15.000
    2. 16.907 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 343 · 49 = 16.807
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 16.807

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 74 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    237417
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 17 + 74
    2. 23 + 17 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 74 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 14 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 14
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 45
    29845
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 45 gibt 2 ab.
    2. 298 + 45 = 300 + 43
    3. 300 + 43 = 343
    Ergebnis:
    343
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 62 − 19
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 62 − 19 = 63 − 20
    3. 63 − 20 = 43
    Ergebnis:
    43
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 18?
    1085
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 10 = 50
    2. Rechts: 5 · 8 = 40
    3. 5 · 18 = 50 + 40 = 90
    Ergebnis:
    5 · 10 und 5 · 8, zusammen 90

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 52 + 54 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    65254
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Elias rechnet 38 + 48 als 40 + 48. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    3848
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    86

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 35
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    105

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    246 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 92 − 82 = ___ − 92
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 392 − 253 und erhält 139. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 139

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 127
  2. 75
  3. 1197
  4. 112
  5. 145
  6. 865
  7. 256 Bonbons
  8. 45 Stühle
  9. 196
  10. 14 Murmeln
  11. 37
  12. 138
  13. 104
  14. 79
  15. 70
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. vertauschen, 127
  20. vertauschen, 139
  21. zerlegen, 666
  22. stimmt, 240
  23. falsch, richtig ist 338
  24. falsch, richtig ist 16.807
  25. 114
  26. 140
  27. 343
  28. 43
  29. 472
  30. 5 · 10 und 5 · 8, zusammen 90
  31. 112
  32. 86
  33. 105
  34. 41 Sticker
  35. 102
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. stimmt, 139
  39. 5
  40. 85
  41. 23
  42. 56