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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 33 − 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 33 − 6 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●40
    Rechne: (8 + 8) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 8 = 16
    2. 16 · 9 = 144
    Ergebnis:
    144

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 5 + 24 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 75. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 44 + 62 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
44626
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 44 + 6 + 62
  2. 44 + 6 = 50
  3. 50 + 62 = 112
  1. Vertauschen: 44 + 6 + 62
  2. 44 + 6 = 50
  3. 50 + 62 = 112
Ergebnis:
112

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Emma rechnet 15 + 46 + 25 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    154625
    So fängst du an:
    Vertauschen: 15 + 25 + 46
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 25 + 46
    2. 15 + 25 = 40
    3. 40 + 46 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●2
    Rechne geschickt: 43 + 84 + 17
    438417
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 17 + 84
    2. 43 + 17 = 60
    3. 60 + 84 = 144
    Ergebnis:
    144
  3. ★3
    Noah rechnet 47 + 639 + 53 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    4763953
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 47 + 53 + 639
    2. 47 + 53 = 100
    3. 100 + 639 = 739
    Ergebnis:
    739

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 86 = 200 + ___
19886
Schritt für Schritt
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 86 um 2 kleiner werden: 86 − 2 = 84
  3. 200 + 84 = 284
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 86 um 2 kleiner werden: 86 − 2 = 84
  3. 200 + 84 = 284
Ergebnis:
84

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 67 = 50 + ___
    4867
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 67 um 2 kleiner werden: 67 − 2 = 65
    3. 50 + 65 = 115
    Ergebnis:
    65
  2. ●5
    Can rechnet 68 + 23 als 70 + 23. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    6823
    Lösung zeigen
    1. Can hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 23 = 93.
    3. 2 wieder abziehen: 93 − 2 = 91
    Ergebnis:
    91
  3. ★6
    Mia rechnet 498 + 846 als 500 + 846. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    498846
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 498 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 500 + 846 = 1346.
    3. 2 wieder abziehen: 1346 − 2 = 1344
    Ergebnis:
    1344

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
  3. 120 − 4 = 116
  1. 29 = 30 − 1
  2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
  3. 120 − 4 = 116
Ergebnis:
116

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 37
    So fängst du an:
    37 = 30 + 7
    Lösung zeigen
    1. 37 = 30 + 7
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 7 = 49
    3. 210 + 49 = 259
    Ergebnis:
    259
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 47
    Lösung zeigen
    1. 47 = 40 + 7
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 7 = 35
    3. 200 + 35 = 235
    Ergebnis:
    235
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 43
    Lösung zeigen
    1. 43 = 40 + 3
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 3 = 24
    3. 320 + 24 = 344
    Ergebnis:
    344

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 189 : 7
Schritt für Schritt
  1. 189 = 140 + 49
  2. 140 : 7 = 20 und 49 : 7 = 7
  3. 20 + 7 = 27
  1. 189 = 140 + 49
  2. 140 : 7 = 20 und 49 : 7 = 7
  3. 20 + 7 = 27
Ergebnis:
27

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 440 : 8
    So fängst du an:
    440 = 400 + 40
    Lösung zeigen
    1. 440 = 400 + 40
    2. 400 : 8 = 50 und 40 : 8 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●11
    448 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 448 : 7
    2. 448 = 420 + 28
    3. 420 : 7 = 60 und 28 : 7 = 4
    4. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 392 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 392 : 4?
    392: 4
    Lösung zeigen
    1. 392 = 360 + 32
    2. 360 : 4 = 90 und 32 : 4 = 8
    3. 90 + 8 = 98
    Ergebnis:
    98

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 14 · 5 = 7 · ___
14 · 5=7 · ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 42 − 33 = ___ − 38
    So fängst du an:
    33 wird zu 38: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 38: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 42 um 5 größer.
    3. 42 + 5 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 83 + 18 = 81 + ___
    Lösung zeigen
    1. 83 wird zu 81: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 18 um 2 größer.
    3. 18 + 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 9 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Elias verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 36 + 47 + 64? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 36 + 64 = 100
  3. 100 + 47 = 147
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 36 + 64 = 100
  3. 100 + 47 = 147
Ergebnis:
vertauschen, 147

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 384 + 399? Nenne ihn und rechne.
    384 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 384 + 399 = 383 + 400
    3. 383 + 400 = 783
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 783

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 346 − 133 und erhält 203. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 203 + 133 = 336
  2. 336 ist nicht 346: Es ist falsch.
  3. 346 − 133 = 213
  1. Umkehraufgabe: 203 + 133 = 336
  2. 336 ist nicht 346: Es ist falsch.
  3. 346 − 133 = 213
Ergebnis:
falsch, richtig ist 213

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 607 − 372 und erhält 235. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 235 + 372 = 607
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 235 + 372 = 607
    2. 607 ist genau 607: Es stimmt.
    3. 607 − 372 = 235
    Ergebnis:
    stimmt, 235
  2. ●23
    Tom erhält für 60 · 46 das Ergebnis 3760. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 50 = 3000
    2. 3760 liegt zu weit weg. Genau: 60 · 46 = 2760
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2760
  3. ★24
    Tom rechnet 4955 − 444 und erhält 4511. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4511 + 444 = 4955
    2. 4955 ist genau 4955: Es stimmt.
    3. 4955 − 444 = 4511
    Ergebnis:
    stimmt, 4511

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 43 + 34 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    433417
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 17 + 34
    2. 43 + 17 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 34 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 6 · 2
    562
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 6
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 46
    29946
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 46 gibt 1 ab.
    2. 299 + 46 = 300 + 45
    3. 300 + 45 = 345
    Ergebnis:
    345
  4. ●28
    Paul rechnet 131 − 48 als 131 − 50 und erhält 81. Ist das schon das Ergebnis?
    131 − 48131 − 50
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 81 + 2 = 83
    Ergebnis:
    Nein, 83
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
    3. 210 − 7 = 203
    Ergebnis:
    203
  6. ●30
    Jonas rechnet 7 · 14 so: erst 7 · 10, dann 4 dazu. Jonas erhält 74. Zeige am Bild, was fehlt.
    1047
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 7 · 4 = 28
    3. 70 + 28 = 98
    Ergebnis:
    98

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Milan rechnet 13 + 79 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    13797
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    99

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 96
    6896
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    164

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 18
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 252 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 252 : 9?
    252: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 12 = 4 · ___
    8 · 12=4 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Can verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 165 + 598? Nenne ihn und rechne.
    165 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 763

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 55 · 26 das Ergebnis 1530. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1430

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 86
  2. 144
  3. 739
  4. 65
  5. 91
  6. 1344
  7. 259
  8. 235
  9. 344
  10. 55
  11. 64 Murmeln
  12. 98
  13. 47
  14. 20
  15. 18
  16. 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. gegensinnig verändern, 783
  22. stimmt, 235
  23. falsch, richtig ist 2760
  24. stimmt, 4511
  25. 94
  26. 60
  27. 345
  28. Nein, 83
  29. 203
  30. 98
  31. 99
  32. 164
  33. 108
  34. 28
  35. 24
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. gegensinnig verändern, 763
  38. falsch, richtig ist 1430
  39. 27
  40. 144
  41. 29
  42. 45