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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 51 − 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 51 − 32 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (9 + 6) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 6 = 15
    2. 15 · 9 = 135
    Ergebnis:
    135

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 5 + 48 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 20. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 17 + 76 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
17763
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 76
  2. 17 + 3 = 20
  3. 20 + 76 = 96
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 76
  2. 17 + 3 = 20
  3. 20 + 76 = 96
Ergebnis:
96

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 42 + 21 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    94221
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 21 + 42
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 21 + 42
    2. 9 + 21 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 42 = 72
    Ergebnis:
    72
  2. ●2
    Lina rechnet 35 + 33 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    353315
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 15 + 33
    2. 35 + 15 = 50
    3. 50 + 33 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 183 + 671 + 67 + 17 + 33 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    183671671733
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 183 + 17 + 67 + 33 + 671
    2. 183 + 17 = 200 und 67 + 33 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 100 + 671 = 971
    Ergebnis:
    971

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 65 = 300 + ___
29965
Schritt für Schritt
  1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
  2. Also muss 65 um 1 kleiner werden: 65 − 1 = 64
  3. 300 + 64 = 364
  1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
  2. Also muss 65 um 1 kleiner werden: 65 − 1 = 64
  3. 300 + 64 = 364
Ergebnis:
64

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 56
    4756
    So fängst du an:
    47 bekommt 3 dazu, 56 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 56 gibt 3 ab.
    2. 47 + 56 = 50 + 53
    3. 50 + 53 = 103
    Ergebnis:
    103
  2. ●5
    Elias rechnet 199 + 29 als 200 + 29. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    19929
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 29 = 229.
    3. 1 wieder abziehen: 229 − 1 = 228
    Ergebnis:
    228
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 496 + 759
    496759
    Lösung zeigen
    1. 496 bekommt 4 dazu, 759 gibt 4 ab.
    2. 496 + 759 = 500 + 755
    3. 500 + 755 = 1255
    Ergebnis:
    1255

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
Schritt für Schritt
  1. 39 = 40 − 1
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
  3. 240 − 6 = 234
  1. 39 = 40 − 1
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
  3. 240 − 6 = 234
Ergebnis:
234

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●8
    Es gibt 5 Tüten mit je 64 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 64
    2. 64 = 60 + 4
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 4 = 20
    4. 300 + 20 = 320
    Ergebnis:
    320 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 473
    Lösung zeigen
    1. 473 = 400 + 70 + 3
    2. 5 · 400 = 2000; 5 · 70 = 350; 5 · 3 = 15
    3. 2000 + 350 + 15 = 2365
    Ergebnis:
    2365

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 544 : 8
Schritt für Schritt
  1. 544 = 480 + 64
  2. 480 : 8 = 60 und 64 : 8 = 8
  3. 60 + 8 = 68
  1. 544 = 480 + 64
  2. 480 : 8 = 60 und 64 : 8 = 8
  3. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    240 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    240 : 5
    Lösung zeigen
    1. 240 : 5
    2. 240 = 200 + 40
    3. 200 : 5 = 40 und 40 : 5 = 8
    4. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48 Bücher
  2. ●11
    279 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 279 : 9
    2. 279 = 270 + 9
    3. 270 : 9 = 30 und 9 : 9 = 1
    4. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 402 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 402 : 6?
    402: 6
    Lösung zeigen
    1. 402 = 360 + 42
    2. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 8 = 8 · ___
16 · 8=8 · ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 79 + 76 = 89 + ___
    79 + 76=89 + ?
    So fängst du an:
    79 wird zu 89: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 79 wird zu 89: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 76 um 10 kleiner.
    3. 76 − 10 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 68 − 24 = ___ − 34
    Lösung zeigen
    1. 24 wird zu 34: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 10 größer.
    3. 68 + 10 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 7 · 31 + 7 · 8 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 31 und 7 mal 8 sind zusammen 7 mal (31 + 8).
    3. 31 + 8 = 39
    Ergebnis:
    39

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    So fängst du an:
    12 · 15 = 6 · 30
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Ben verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 9 · 50? Nenne ihn und rechne.
9 · 50zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 0 = 0
  3. Zusammen: 450
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 0 = 0
  3. Zusammen: 450
Ergebnis:
zerlegen, 450

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 194 + 497? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 194 + 497 = 191 + 500
    3. 191 + 500 = 691
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 691
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 27 + 54 + 73? Nenne ihn und rechne.
    27 + 54 + 73zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 54 = 154
    Ergebnis:
    vertauschen, 154
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 237 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 237 + 598 = 235 + 600
    3. 235 + 600 = 835
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 835

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan erhält für 83 · 32 das Ergebnis 2756. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2756 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 32 = 2656
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2756 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 32 = 2656
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2656

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina erhält für 66 · 39 das Ergebnis 3574. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 70 · 40 = 2800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
    2. 3574 liegt zu weit weg. Genau: 66 · 39 = 2574
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2574
  2. ●23
    Jonas rechnet 931 − 226 und erhält 725. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 725 + 226 = 951
    2. 951 ist nicht 931: Es ist falsch.
    3. 931 − 226 = 705
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 705
  3. ★24
    Paul rechnet 1988 : 4 und erhält 497. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1988 : 4Ergebnis 497?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 497 · 4 = 1988
    2. 1988 ist genau 1988: Es stimmt.
    3. 1988 : 4 = 497
    Ergebnis:
    stimmt, 497

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 95 + 13 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    95135
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 95 + 5 + 13
    2. 95 + 5 = 100
    3. 100 + 13 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 17
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 17 = 170
    Ergebnis:
    170 Bälle
  3. ●27
    Noah rechnet 68 + 76 als 70 + 76. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    6876
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 76 = 146.
    3. 2 wieder abziehen: 146 − 2 = 144
    Ergebnis:
    144
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 157 − 47 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 157 um 3 größer: 160.
    3. 160 − 50 = 110
    Ergebnis:
    160
  5. ●29
    Es gibt 5 Tüten mit je 18 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 18
    2. 18 = 10 + 8
    3. 5 · 10 = 50 und 5 · 8 = 40
    4. 50 + 40 = 90
    Ergebnis:
    90 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 22 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2027
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. Zusammen: 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    154 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 72 + 24 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    67224
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 85 = 40 + ___
    3885
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 69
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    414

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 196 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 196 : 7?
    196: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 12 = 6 · ___
    12 · 12=6 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Elias verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 947 − 686 und erhält 271. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 261

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 72
  2. 83
  3. 971
  4. 103
  5. 228
  6. 1255
  7. 95
  8. 320 Bonbons
  9. 2365
  10. 48 Bücher
  11. 31 Murmeln
  12. 67
  13. 66
  14. 78
  15. 39
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. gegensinnig verändern, 691
  20. vertauschen, 154
  21. gegensinnig verändern, 835
  22. falsch, richtig ist 2574
  23. falsch, richtig ist 705
  24. stimmt, 497
  25. 113
  26. 170 Bälle
  27. 144
  28. 160
  29. 90 Bonbons
  30. 154 Kästchen
  31. 102
  32. 83
  33. 414
  34. 28
  35. 24
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. falsch, richtig ist 261
  39. 19
  40. 135
  41. 53
  42. 16