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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 26 − 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 26 − 16 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (3 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 3 = 6
    2. 6 · 8 = 48
    Ergebnis:
    48

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 11 + 36 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 16 und erhalte 62. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 15 + 83 + 85 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
158385
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 85 + 83
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 83 = 183
  1. Vertauschen: 15 + 85 + 83
  2. 15 + 85 = 100
  3. 100 + 83 = 183
Ergebnis:
183

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia rechnet 47 + 85 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    47853
    So fängst du an:
    Vertauschen: 47 + 3 + 85
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 47 + 3 + 85
    2. 47 + 3 = 50
    3. 50 + 85 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●2
    Rechne geschickt: 21 + 52 + 9
    21529
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 9 + 52
    2. 21 + 9 = 30
    3. 30 + 52 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★3
    Can rechnet 19 + 189 + 81 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    1918981
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 81 + 189
    2. 19 + 81 = 100
    3. 100 + 189 = 289
    Ergebnis:
    289

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 298 + 24 als 300 + 24. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
29824
Schritt für Schritt
  1. Aylin hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 24 = 324.
  3. 2 wieder abziehen: 324 − 2 = 322
  1. Aylin hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 24 = 324.
  3. 2 wieder abziehen: 324 − 2 = 322
Ergebnis:
322

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 95
    29995
    So fängst du an:
    299 bekommt 1 dazu, 95 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 95 gibt 1 ab.
    2. 299 + 95 = 300 + 94
    3. 300 + 94 = 394
    Ergebnis:
    394
  2. ●5
    Hanna rechnet 197 + 34 als 200 + 34. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    19734
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 34 = 234.
    3. 3 wieder abziehen: 234 − 3 = 231
    Ergebnis:
    231
  3. ★6
    Can rechnet 397 + 274 als 400 + 274. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    397274
    Lösung zeigen
    1. Can hat 397 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 400 + 274 = 674.
    3. 3 wieder abziehen: 674 − 3 = 671
    Ergebnis:
    671

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Hefte mit je 29 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 9 = 63
  4. 140 + 63 = 203
  1. 7 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 9 = 63
  4. 140 + 63 = 203
Ergebnis:
203 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Reihen mit je 21 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 21
    Lösung zeigen
    1. 9 · 21
    2. 21 = 20 + 1
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    4. 180 + 9 = 189
    Ergebnis:
    189 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 13
    Lösung zeigen
    1. 13 = 10 + 3
    2. 7 · 10 = 70 und 7 · 3 = 21
    3. 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    91
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 128 : 4
Schritt für Schritt
  1. 128 = 120 + 8
  2. 120 : 4 = 30 und 8 : 4 = 2
  3. 30 + 2 = 32
  1. 128 = 120 + 8
  2. 120 : 4 = 30 und 8 : 4 = 2
  3. 30 + 2 = 32
Ergebnis:
32

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    175 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    175 : 7
    Lösung zeigen
    1. 175 : 7
    2. 175 = 140 + 35
    3. 140 : 7 = 20 und 35 : 7 = 5
    4. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 236 : 4
    Lösung zeigen
    1. 236 = 200 + 36
    2. 200 : 4 = 50 und 36 : 4 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★12
    Zerlege 183 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 183 : 3?
    183: 3
    Lösung zeigen
    1. 183 = 180 + 3
    2. 180 : 3 = 60 und 3 : 3 = 1
    3. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 18 · 13 = 9 · ___
18 · 13=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 10 = 3 · ___
    6 · 10=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 79 − 73 = ___ − 83
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 83: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 79 um 10 größer.
    3. 79 + 10 = 89
    Ergebnis:
    89
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 86 + 37 = 88 + ___
    Lösung zeigen
    1. 86 wird zu 88: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 2 kleiner.
    3. 37 − 2 = 35
    Ergebnis:
    35

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 232 + 198? Nenne ihn und rechne.
232 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 232 + 198 = 230 + 200
  3. 230 + 200 = 430
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 232 + 198 = 230 + 200
  3. 230 + 200 = 430
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 430

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7291 − 6732? Nenne ihn und rechne.
    7291 − 6732zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 7291 − 6732 = 559
    Ergebnis:
    schriftlich, 559

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 819 : 9 und erhält 90. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
819 : 9Ergebnis 90?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 90 · 9 = 810
  2. 810 ist nicht 819: Es ist falsch.
  3. 819 : 9 = 91
  1. Umkehraufgabe: 90 · 9 = 810
  2. 810 ist nicht 819: Es ist falsch.
  3. 819 : 9 = 91
Ergebnis:
falsch, richtig ist 91

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 273 : 3 und erhält 91. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    273 : 3Ergebnis 91?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 91 · 3 = 273
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 91 · 3 = 273
    2. 273 ist genau 273: Es stimmt.
    3. 273 : 3 = 91
    Ergebnis:
    stimmt, 91
  2. ●23
    Elias rechnet 671 − 493 und erhält 168. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 168 + 493 = 661
    2. 661 ist nicht 671: Es ist falsch.
    3. 671 − 493 = 178
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 178
  3. ★24
    Paul rechnet 1624 : 4 und erhält 406. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1624 : 4Ergebnis 406?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 406 · 4 = 1624
    2. 1624 ist genau 1624: Es stimmt.
    3. 1624 : 4 = 406
    Ergebnis:
    stimmt, 406

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 6 + 28 + 14
    62814
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 28
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 28 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 11 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kartons11 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 11
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 11 = 110
    Ergebnis:
    110 Bälle
  3. ●27
    Tom rechnet 47 + 76 als 50 + 76. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    4776
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 76 = 126.
    3. 3 wieder abziehen: 126 − 3 = 123
    Ergebnis:
    123
  4. ●28
    Noah rechnet 166 − 17 als 166 − 20 und erhält 146. Ist das schon das Ergebnis?
    166 − 17166 − 20
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 146 + 3 = 149
    Ergebnis:
    Nein, 149
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 23 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2035
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 3 = 15
    3. Zusammen: 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Noah rechnet 4 + 75 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    47516
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 78
    6778
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    145

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 58
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    406

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 190 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 98 − 93 = ___ − 95
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    100

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 4 · 69? Nenne ihn und rechne.
    4 · 69zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 276

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 618 − 545 und erhält 173. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 73

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 135
  2. 82
  3. 289
  4. 394
  5. 231
  6. 671
  7. 189 Stühle
  8. 91
  9. 236
  10. 25 Bücher
  11. 59
  12. 61
  13. 20
  14. 89
  15. 35
  16. 70
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. schriftlich, 559
  22. stimmt, 91
  23. falsch, richtig ist 178
  24. stimmt, 406
  25. 48
  26. 110 Bälle
  27. 123
  28. Nein, 149
  29. 312
  30. 115 Kästchen
  31. 95
  32. 145
  33. 406
  34. 38
  35. 100
  36. 70
  37. zerlegen, 276
  38. falsch, richtig ist 73
  39. 10
  40. 48
  41. 47
  42. 46