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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 43 − 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 43 − 12 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (2 + 6) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 6 = 8
    2. 8 · 3 = 24
    Ergebnis:
    24

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 5 + 28 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 36 + 85 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
368514
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 36 + 14 + 85
  2. 36 + 14 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 85 = 135
  1. Vertauschen: 36 + 14 + 85
  2. 36 + 14 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 85 = 135
Ergebnis:
135

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 55 + 17 + 5
    55175
    So fängst du an:
    Vertauschen: 55 + 5 + 17
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 55 + 5 + 17
    2. 55 + 5 = 60
    3. 60 + 17 = 77
    Ergebnis:
    77
  2. ●2
    Aylin rechnet 11 + 74 + 39 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    117439
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 39 + 74
    2. 11 + 39 = 50
    3. 50 + 74 = 124
    Ergebnis:
    124
  3. ★3
    Rechne geschickt: 612 + 873 + 388
    612873388
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 612 + 388 + 873
    2. 612 + 388 = 1000
    3. 1000 + 873 = 1873
    Ergebnis:
    1873

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 52
4952
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 52 gibt 1 ab.
  2. 49 + 52 = 50 + 51
  3. 50 + 51 = 101
  1. 49 bekommt 1 dazu, 52 gibt 1 ab.
  2. 49 + 52 = 50 + 51
  3. 50 + 51 = 101
Ergebnis:
101

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 56 = 100 + ___
    9856
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 56 um 2 kleiner werden: 56 − 2 = 54
    3. 100 + 54 = 154
    Ergebnis:
    54
  2. ●5
    Elias rechnet 97 + 26 als 100 + 26. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    9726
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 26 = 126.
    3. 3 wieder abziehen: 126 − 3 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★6
    Ben rechnet 397 + 185 als 400 + 185. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    397185
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 397 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 400 + 185 = 585.
    3. 3 wieder abziehen: 585 − 3 = 582
    Ergebnis:
    582

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 25 = 20 + 5
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 5 = 40
  3. 160 + 40 = 200
  1. 25 = 20 + 5
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 5 = 40
  3. 160 + 40 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 41 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 41
    Lösung zeigen
    1. 6 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    4. 240 + 6 = 246
    Ergebnis:
    246 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 9 Hefte mit je 22 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 22
    2. 22 = 20 + 2
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 2 = 18
    4. 180 + 18 = 198
    Ergebnis:
    198 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 160
    Lösung zeigen
    1. 160 = 100 + 60
    2. 6 · 100 = 600; 6 · 60 = 360
    3. 600 + 360 = 960
    Ergebnis:
    960

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 230 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 230 : 5?
230: 5
Schritt für Schritt
  1. 230 = 200 + 30
  2. 200 : 5 = 40 und 30 : 5 = 6
  3. 40 + 6 = 46
  1. 230 = 200 + 30
  2. 200 : 5 = 40 und 30 : 5 = 6
  3. 40 + 6 = 46
Ergebnis:
46

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 208 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 208 : 4?
    208: 4
    So fängst du an:
    208 = 200 + 8
    Lösung zeigen
    1. 208 = 200 + 8
    2. 200 : 4 = 50 und 8 : 4 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●11
    Zerlege 266 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 266 : 7?
    266: 7
    Lösung zeigen
    1. 266 = 210 + 56
    2. 210 : 7 = 30 und 56 : 7 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★12
    1467 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1467 : 9
    2. 1467 = 1440 + 27
    3. 1440 : 9 = 160 und 27 : 9 = 3
    4. 160 + 3 = 163
    Ergebnis:
    163 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 36 + 30 = 39 + ___
Schritt für Schritt
  1. 36 wird zu 39: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 30 um 3 kleiner.
  3. 30 − 3 = 27
  1. 36 wird zu 39: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 30 um 3 kleiner.
  3. 30 − 3 = 27
Ergebnis:
27

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 23 + 63 = 13 + ___
    23 + 63=13 + ?
    So fängst du an:
    23 wird zu 13: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 23 wird zu 13: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 10 größer.
    3. 63 + 10 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 17 + 34 = 20 + ___
    17 + 34=20 + ?
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 20: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 34 um 3 kleiner.
    3. 34 − 3 = 31
    Ergebnis:
    31
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 7 = 4 · ___
    8 · 7=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 132 + 299? Nenne ihn und rechne.
132 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 132 + 299 = 131 + 300
  3. 131 + 300 = 431
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 132 + 299 = 131 + 300
  3. 131 + 300 = 431
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 431

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 4 · 31? Nenne ihn und rechne.
    4 · 31zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
    3. Zusammen: 124
    Ergebnis:
    zerlegen, 124
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 45 + 66 + 55? Nenne ihn und rechne.
    45 + 66 + 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 45 + 55 = 100
    3. 100 + 66 = 166
    Ergebnis:
    vertauschen, 166

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 638 − 469 und erhält 179. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 179 + 469 = 648
  2. 648 ist nicht 638: Es ist falsch.
  3. 638 − 469 = 169
  1. Umkehraufgabe: 179 + 469 = 648
  2. 648 ist nicht 638: Es ist falsch.
  3. 638 − 469 = 169
Ergebnis:
falsch, richtig ist 169

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 816 − 289 und erhält 537. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 537 + 289 = 826
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 537 + 289 = 826
    2. 826 ist nicht 816: Es ist falsch.
    3. 816 − 289 = 527
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 527
  2. ●23
    Paul erhält für 74 · 24 das Ergebnis 1976. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
    2. 1976 liegt zu weit weg. Genau: 74 · 24 = 1776
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1776
  3. ★24
    Sofia erhält für 328 · 40 das Ergebnis 13.220. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 13.220 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 328 · 40 = 13.120
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 13.120

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 7 + 87 + 13
    78713
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 87
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 87 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 14 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 14
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 53 = 300 + ___
    29953
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 53 um 1 kleiner werden: 53 − 1 = 52
    3. 300 + 52 = 352
    Ergebnis:
    52
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 86 − 49
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 86 − 49 = 87 − 50
    3. 87 − 50 = 37
    Ergebnis:
    37
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  6. ●30
    Can rechnet 7 · 24 so: erst 7 · 20, dann 4 dazu. Can erhält 144. Zeige am Bild, was fehlt.
    2047
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 7 · 4 = 28
    3. 140 + 28 = 168
    Ergebnis:
    168

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 51 + 56 + 49
    515649
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    156

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 76
    4776
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    123

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Hefte mit je 63 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    567 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    96 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 17 + 83 = 18 + ___
    17 + 83=18 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 691 − 189 und erhält 502. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 502

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 77
  2. 124
  3. 1873
  4. 54
  5. 123
  6. 582
  7. 246 Bonbons
  8. 198 Hefte
  9. 960
  10. 52
  11. 38
  12. 163 Sticker
  13. 73
  14. 31
  15. 14
  16. 200
  17. 400
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. zerlegen, 124
  21. vertauschen, 166
  22. falsch, richtig ist 527
  23. falsch, richtig ist 1776
  24. falsch, richtig ist 13.120
  25. 107
  26. 140
  27. 52
  28. 37
  29. 392
  30. 168
  31. 156
  32. 123
  33. 567 Hefte
  34. 16 Sticker
  35. 82
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. stimmt, 502
  39. 31
  40. 24
  41. 33
  42. 49