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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 4 + 25 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (6 + 8) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 8 = 14
    2. 14 · 7 = 98
    Ergebnis:
    98

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 8 + 32 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 75. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 22 + 65 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
22658
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 22 + 8 + 65
  2. 22 + 8 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 65 = 95
  1. Vertauschen: 22 + 8 + 65
  2. 22 + 8 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 65 = 95
Ergebnis:
95

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 69 + 89 + 31 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    698931
    So fängst du an:
    Vertauschen: 69 + 31 + 89
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 69 + 31 + 89
    2. 69 + 31 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 89 = 189
    Ergebnis:
    189
  2. ●2
    Can rechnet 62 + 16 + 38 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    621638
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 62 + 38 + 16
    2. 62 + 38 = 100
    3. 100 + 16 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★3
    Rechne geschickt: 244 + 709 + 18 + 56 + 82
    244709185682
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 244 + 56 + 18 + 82 + 709
    2. 244 + 56 = 300 und 18 + 82 = 100
    3. 300 + 100 + 709 = 1109
    Ergebnis:
    1109

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Mia rechnet 198 + 83 als 200 + 83. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
19883
Schritt für Schritt
  1. Mia hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 83 = 283.
  3. 2 wieder abziehen: 283 − 2 = 281
  1. Mia hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 83 = 283.
  3. 2 wieder abziehen: 283 − 2 = 281
Ergebnis:
281

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 66 = 70 + ___
    6866
    So fängst du an:
    68 wird zu 70: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 66 um 2 kleiner werden: 66 − 2 = 64
    3. 70 + 64 = 134
    Ergebnis:
    64
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 48 = 70 + ___
    6748
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 48 um 3 kleiner werden: 48 − 3 = 45
    3. 70 + 45 = 115
    Ergebnis:
    45
  3. ★6
    Sofia rechnet 1996 + 497 als 2000 + 497. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    1996497
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 1996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 2000 + 497 = 2497.
    3. 4 wieder abziehen: 2497 − 4 = 2493
    Ergebnis:
    2493

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Tüten mit je 61 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  4. 360 + 6 = 366
  1. 6 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  4. 360 + 6 = 366
Ergebnis:
366 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Hefte mit je 38 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 38
    Lösung zeigen
    1. 3 · 38
    2. 38 = 30 + 8
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 8 = 24
    4. 90 + 24 = 114
    Ergebnis:
    114 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 24
    Lösung zeigen
    1. 24 = 20 + 4
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 4 = 28
    3. 140 + 28 = 168
    Ergebnis:
    168
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 384
    Lösung zeigen
    1. 384 = 300 + 80 + 4
    2. 5 · 300 = 1500; 5 · 80 = 400; 5 · 4 = 20
    3. 1500 + 400 + 20 = 1920
    Ergebnis:
    1920

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 156 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 156 : 4?
156: 4
Schritt für Schritt
  1. 156 = 120 + 36
  2. 120 : 4 = 30 und 36 : 4 = 9
  3. 30 + 9 = 39
  1. 156 = 120 + 36
  2. 120 : 4 = 30 und 36 : 4 = 9
  3. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 117 : 9
    So fängst du an:
    117 = 90 + 27
    Lösung zeigen
    1. 117 = 90 + 27
    2. 90 : 9 = 10 und 27 : 9 = 3
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 306 : 6
    Lösung zeigen
    1. 306 = 300 + 6
    2. 300 : 6 = 50 und 6 : 6 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★12
    Zerlege 777 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 777 : 7?
    777: 7
    Lösung zeigen
    1. 777 = 770 + 7
    2. 770 : 7 = 110 und 7 : 7 = 1
    3. 110 + 1 = 111
    Ergebnis:
    111

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 4 · 5 = 2 · ___
4 · 5=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 11 = 3 · ___
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 7 = 8 · ___
    16 · 7=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 9 = 2 · ___
    4 · 9=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Elias verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 60? Nenne ihn und rechne.
    4 · 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 0 = 0
    3. Zusammen: 240
    Ergebnis:
    zerlegen, 240
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 195 : 5 und erhält 39. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
195 : 5Ergebnis 39?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 39 · 5 = 195
  2. 195 ist genau 195: Es stimmt.
  3. 195 : 5 = 39
  1. Umkehraufgabe: 39 · 5 = 195
  2. 195 ist genau 195: Es stimmt.
  3. 195 : 5 = 39
Ergebnis:
stimmt, 39

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 720 : 8 und erhält 89. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    720 : 8Ergebnis 89?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 89 · 8 = 712
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 89 · 8 = 712
    2. 712 ist nicht 720: Es ist falsch.
    3. 720 : 8 = 90
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 90
  2. ●23
    Mia rechnet 616 − 539 und erhält 177. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 177 + 539 = 716
    2. 716 ist nicht 616: Es ist falsch.
    3. 616 − 539 = 77
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 77
  3. ★24
    Tom erhält für 380 · 42 das Ergebnis 16.060. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
    2. 16.060 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 380 · 42 = 15.960
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 15.960

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 18 + 41 + 12
    184112
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 12 + 41
    2. 18 + 12 = 30
    3. 30 + 41 = 71
    Ergebnis:
    71
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 16 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons16 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 16
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 76 = 200 + ___
    19976
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 76 um 1 kleiner werden: 76 − 1 = 75
    3. 200 + 75 = 275
    Ergebnis:
    75
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 49 − 28
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 49 − 28 = 51 − 30
    3. 51 − 30 = 21
    Ergebnis:
    21
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 67
    Lösung zeigen
    1. 67 = 60 + 7
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 7 = 28
    3. 240 + 28 = 268
    Ergebnis:
    268
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 25?
    2054
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 5 = 20
    3. 4 · 25 = 80 + 20 = 100
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 5, zusammen 100

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 38 + 31 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    193831
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    88

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Jonas rechnet 68 + 55 als 70 + 55. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    6855
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    123

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Reihen mit je 66 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    528 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 232 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 232 : 4?
    232: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 37 + 29 = 47 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 352 + 399? Nenne ihn und rechne.
    352 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 751

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 378 : 9 und erhält 42. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    378 : 9Ergebnis 42?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 42

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 189
  2. 116
  3. 1109
  4. 64
  5. 45
  6. 2493
  7. 114 Hefte
  8. 168
  9. 1920
  10. 13
  11. 51
  12. 111
  13. 22
  14. 14
  15. 18
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. zerlegen, 240
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 90
  23. falsch, richtig ist 77
  24. falsch, richtig ist 15.960
  25. 71
  26. 1600 Bälle
  27. 75
  28. 21
  29. 268
  30. 4 · 20 und 4 · 5, zusammen 100
  31. 88
  32. 123
  33. 528 Stühle
  34. 58
  35. 19
  36. 210
  37. gegensinnig verändern, 751
  38. stimmt, 42
  39. 29
  40. 98
  41. 40
  42. 45