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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 9 + 30 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●40
    Rechne: (4 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 6 = 10
    2. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 12 + 6 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 13 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Mia rechnet 27 + 32 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
27323
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 27 + 3 + 32
  2. 27 + 3 = 30
  3. 30 + 32 = 62
  1. Vertauschen: 27 + 3 + 32
  2. 27 + 3 = 30
  3. 30 + 32 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 83 + 14 + 17
    831417
    So fängst du an:
    Vertauschen: 83 + 17 + 14
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 83 + 17 + 14
    2. 83 + 17 = 100
    3. 100 + 14 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●2
    Can rechnet 37 + 55 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    37553
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 3 + 55
    2. 37 + 3 = 40
    3. 40 + 55 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★3
    Emma rechnet 293 + 793 + 71 + 7 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    29379371729
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 293 + 7 + 71 + 29 + 793
    2. 293 + 7 = 300 und 71 + 29 = 100
    3. 300 + 100 + 793 = 1193
    Ergebnis:
    1193

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 47
9747
Schritt für Schritt
  1. 97 bekommt 3 dazu, 47 gibt 3 ab.
  2. 97 + 47 = 100 + 44
  3. 100 + 44 = 144
  1. 97 bekommt 3 dazu, 47 gibt 3 ab.
  2. 97 + 47 = 100 + 44
  3. 100 + 44 = 144
Ergebnis:
144

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 33
    4933
    So fängst du an:
    49 bekommt 1 dazu, 33 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 33 gibt 1 ab.
    2. 49 + 33 = 50 + 32
    3. 50 + 32 = 82
    Ergebnis:
    82
  2. ●5
    Milan rechnet 99 + 46 als 100 + 46. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    9946
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 46 = 146.
    3. 1 wieder abziehen: 146 − 1 = 145
    Ergebnis:
    145
  3. ★6
    Mia rechnet 497 + 538 als 500 + 538. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    497538
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 497 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 500 + 538 = 1038.
    3. 3 wieder abziehen: 1038 − 3 = 1035
    Ergebnis:
    1035

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
  3. 540 − 9 = 531
  1. 59 = 60 − 1
  2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
  3. 540 − 9 = 531
Ergebnis:
531

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Tüten mit je 43 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 43
    Lösung zeigen
    1. 7 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 3 = 21
    4. 280 + 21 = 301
    Ergebnis:
    301 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  3. ★9
    Es gibt 5 Hefte mit je 47 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 47
    2. 47 = 40 + 7
    3. 5 · 40 = 200 und 5 · 7 = 35
    4. 200 + 35 = 235
    Ergebnis:
    235 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 345 : 5
Schritt für Schritt
  1. 345 = 300 + 45
  2. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
  3. 60 + 9 = 69
  1. 345 = 300 + 45
  2. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
  3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    196 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    196 : 7
    Lösung zeigen
    1. 196 : 7
    2. 196 = 140 + 56
    3. 140 : 7 = 20 und 56 : 7 = 8
    4. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28 Murmeln
  2. ●11
    Zerlege 65 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 65 : 5?
    65: 5
    Lösung zeigen
    1. 65 = 50 + 15
    2. 50 : 5 = 10 und 15 : 5 = 3
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13
  3. ★12
    Zerlege 156 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 156 : 4?
    156: 4
    Lösung zeigen
    1. 156 = 120 + 36
    2. 120 : 4 = 30 und 36 : 4 = 9
    3. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 13 = 2 · ___
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 7 = 3 · ___
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 83 − 34 = ___ − 44
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 44: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 83 um 10 größer.
    3. 83 + 10 = 93
    Ergebnis:
    93
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 31 + 22 = 21 + ___
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 21: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 10 größer.
    3. 22 + 10 = 32
    Ergebnis:
    32

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Emma verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Noah verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 6 · 33? Nenne ihn und rechne.
6 · 33zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 3 = 18
  3. Zusammen: 198
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 3 = 18
  3. Zusammen: 198
Ergebnis:
zerlegen, 198

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 88? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 88 = 80 + 8.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 88 = 80 + 8.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 8 = 72
    3. Zusammen: 792
    Ergebnis:
    zerlegen, 792
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 31? Nenne ihn und rechne.
    5 · 31zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. Zusammen: 155
    Ergebnis:
    zerlegen, 155
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 310 + 497? Nenne ihn und rechne.
    310 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 310 + 497 = 307 + 500
    3. 307 + 500 = 807
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 807

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah erhält für 33 · 49 das Ergebnis 1617. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 50 = 1500
  2. 1617 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 33 · 49 = 1617
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 30 · 50 = 1500
  2. 1617 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 33 · 49 = 1617
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1617

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 657 : 9 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    657 : 9Ergebnis 75?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 75 · 9 = 675
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 75 · 9 = 675
    2. 675 ist nicht 657: Es ist falsch.
    3. 657 : 9 = 73
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 73
  2. ●23
    Jonas rechnet 397 − 294 und erhält 203. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 203 + 294 = 497
    2. 497 ist nicht 397: Es ist falsch.
    3. 397 − 294 = 103
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 103
  3. ★24
    Paul rechnet 4557 : 7 und erhält 652. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4557 : 7Ergebnis 652?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 652 · 7 = 4564
    2. 4564 ist nicht 4557: Es ist falsch.
    3. 4557 : 7 = 651
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 651

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 45 + 14 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    45145
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 45 + 5 + 14
    2. 45 + 5 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 14 = 64
    Ergebnis:
    64
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 17 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1752
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 17
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 17 = 170
    Ergebnis:
    170
  3. ●27
    Mia rechnet 298 + 65 als 300 + 65. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    29865
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 65 = 365.
    3. 2 wieder abziehen: 365 − 2 = 363
    Ergebnis:
    363
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 198 − 49
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 198 − 49 = 199 − 50
    3. 199 − 50 = 149
    Ergebnis:
    149
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 18
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 4 · 10 = 40 und 4 · 8 = 32
    3. 40 + 32 = 72
    Ergebnis:
    72
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1093
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 9 = 27
    3. Zusammen: 30 + 27 = 57
    Ergebnis:
    57 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 62 + 41 + 38 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    624138
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    141

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Elias rechnet 97 + 89 als 100 + 89. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    9789
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    186

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Reihen mit je 26 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    156 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 360 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 360 : 8?
    360: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 71 − 36 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 44? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 396

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 934 − 390 und erhält 554. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 544

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 114
  2. 95
  3. 1193
  4. 82
  5. 145
  6. 1035
  7. 301 Bonbons
  8. 312
  9. 235 Hefte
  10. 28 Murmeln
  11. 13
  12. 39
  13. 14
  14. 93
  15. 32
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. zerlegen, 792
  20. zerlegen, 155
  21. gegensinnig verändern, 807
  22. falsch, richtig ist 73
  23. falsch, richtig ist 103
  24. falsch, richtig ist 651
  25. 64
  26. 170
  27. 363
  28. 149
  29. 72
  30. 57 Kästchen
  31. 141
  32. 186
  33. 156 Stühle
  34. 45
  35. 73
  36. 400
  37. zerlegen, 396
  38. falsch, richtig ist 544
  39. 39
  40. 60
  41. 18
  42. 45