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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 2 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
    2. 34 − 8 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (4 + 6) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 6 = 10
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 8 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 8 = 64
    2. 3 + 64 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 41. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lina rechnet 15 + 41 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
15415
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 41
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 41 = 61
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 41
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 41 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 33 + 43 + 67 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    334367
    So fängst du an:
    Vertauschen: 33 + 67 + 43
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 67 + 43
    2. 33 + 67 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    143
  2. ●2
    Rechne geschickt: 4 + 18 + 26
    41826
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 18
    2. 4 + 26 = 30
    3. 30 + 18 = 48
    Ergebnis:
    48
  3. ★3
    Rechne geschickt: 43 + 383 + 72 + 57 + 28
    43383725728
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 57 + 72 + 28 + 383
    2. 43 + 57 = 100 und 72 + 28 = 100
    3. 100 + 100 + 383 = 583
    Ergebnis:
    583

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 49 = 100 + ___
9749
Schritt für Schritt
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 49 um 3 kleiner werden: 49 − 3 = 46
  3. 100 + 46 = 146
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 49 um 3 kleiner werden: 49 − 3 = 46
  3. 100 + 46 = 146
Ergebnis:
46

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 34 = 50 + ___
    4834
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 34 um 2 kleiner werden: 34 − 2 = 32
    3. 50 + 32 = 82
    Ergebnis:
    32
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 85
    3885
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 85 gibt 2 ab.
    2. 38 + 85 = 40 + 83
    3. 40 + 83 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★6
    Jonas rechnet 397 + 598 als 400 + 598. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    397598
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 397 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 400 + 598 = 998.
    3. 3 wieder abziehen: 998 − 3 = 995
    Ergebnis:
    995

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 22
Schritt für Schritt
  1. 22 = 20 + 2
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 2 = 18
  3. 180 + 18 = 198
  1. 22 = 20 + 2
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 2 = 18
  3. 180 + 18 = 198
Ergebnis:
198

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 13
    So fängst du an:
    13 = 10 + 3
    Lösung zeigen
    1. 13 = 10 + 3
    2. 5 · 10 = 50 und 5 · 3 = 15
    3. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    3. 90 − 3 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 488 : 8
Schritt für Schritt
  1. 488 = 480 + 8
  2. 480 : 8 = 60 und 8 : 8 = 1
  3. 60 + 1 = 61
  1. 488 = 480 + 8
  2. 480 : 8 = 60 und 8 : 8 = 1
  3. 60 + 1 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 225 : 5
    So fängst du an:
    225 = 200 + 25
    Lösung zeigen
    1. 225 = 200 + 25
    2. 200 : 5 = 40 und 25 : 5 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 576 : 9
    Lösung zeigen
    1. 576 = 540 + 36
    2. 540 : 9 = 60 und 36 : 9 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★12
    Zerlege 325 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 325 : 5?
    325: 5
    Lösung zeigen
    1. 325 = 300 + 25
    2. 300 : 5 = 60 und 25 : 5 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 24 + 42 = 23 + ___
24 + 42=23 + ?
Schritt für Schritt
  1. 24 wird zu 23: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 42 um 1 größer.
  3. 42 + 1 = 43
  1. 24 wird zu 23: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 42 um 1 größer.
  3. 42 + 1 = 43
Ergebnis:
43

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 59 + 36 = 62 + ___
    59 + 36=62 + ?
    So fängst du an:
    59 wird zu 62: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 59 wird zu 62: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 36 um 3 kleiner.
    3. 36 − 3 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 12 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 89 + 36 = 91 + ___
    Lösung zeigen
    1. 89 wird zu 91: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 36 um 2 kleiner.
    3. 36 − 2 = 34
    Ergebnis:
    34

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Can verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 184 + 399? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 184 + 399 = 183 + 400
  3. 183 + 400 = 583
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 184 + 399 = 183 + 400
  3. 183 + 400 = 583
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 583

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 66? Nenne ihn und rechne.
    9 · 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 66 = 60 + 6.
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 594
    Ergebnis:
    zerlegen, 594
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 2948 − 1537? Nenne ihn und rechne.
    2948 − 1537zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 2948 − 1537 = 1411
    Ergebnis:
    schriftlich, 1411

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 944 − 399 und erhält 535. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 535 + 399 = 934
  2. 934 ist nicht 944: Es ist falsch.
  3. 944 − 399 = 545
  1. Umkehraufgabe: 535 + 399 = 934
  2. 934 ist nicht 944: Es ist falsch.
  3. 944 − 399 = 545
Ergebnis:
falsch, richtig ist 545

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias erhält für 28 · 48 das Ergebnis 1144. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 50 = 1500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 50 = 1500
    2. 1144 liegt zu weit weg. Genau: 28 · 48 = 1344
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1344
  2. ●23
    Sofia erhält für 81 · 38 das Ergebnis 3078. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 3078 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 81 · 38 = 3078
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 3078
  3. ★24
    Noah erhält für 404 · 12 das Ergebnis 4648. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 10 = 4000
    2. 4648 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 404 · 12 = 4848
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4848

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 74 + 73 + 26 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    747326
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 74 + 26 + 73
    2. 74 + 26 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    173
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 3 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kartons3 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 3
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 29 = 100 + ___
    9729
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 29 um 3 kleiner werden: 29 − 3 = 26
    3. 100 + 26 = 126
    Ergebnis:
    26
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 62 − 29
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 62 − 29 = 63 − 30
    3. 63 − 30 = 33
    Ergebnis:
    33
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 67
    Lösung zeigen
    1. 67 = 60 + 7
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 7 = 49
    3. 420 + 49 = 469
    Ergebnis:
    469
  6. ●30
    Aylin rechnet 6 · 13 so: erst 6 · 10, dann 3 dazu. Aylin erhält 63. Zeige am Bild, was fehlt.
    1036
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 6 · 3 = 18
    3. 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 43 + 41 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    43417
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Elias rechnet 67 + 76 als 70 + 76. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    6776
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    143

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Tüten mit je 54 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    486 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 304 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 6 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Elias verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 175

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 495 − 356 und erhält 159. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 139

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 143
  2. 48
  3. 583
  4. 32
  5. 123
  6. 995
  7. 65
  8. 87
  9. 472
  10. 45
  11. 64
  12. 65
  13. 33
  14. 24
  15. 34
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. zerlegen, 594
  21. schriftlich, 1411
  22. falsch, richtig ist 1344
  23. stimmt, 3078
  24. falsch, richtig ist 4848
  25. 173
  26. 30 Bälle
  27. 26
  28. 33
  29. 469
  30. 78
  31. 91
  32. 143
  33. 486 Bonbons
  34. 38
  35. 12
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. zerlegen, 175
  38. falsch, richtig ist 139
  39. 26
  40. 50
  41. 67
  42. 38