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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 44 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 44 − 21 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 5 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 9 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 8 = 72
    2. 3 + 72 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 36. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 41 + 46 + 9 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
41469
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 41 + 9 + 46
  2. 41 + 9 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 46 = 96
  1. Vertauschen: 41 + 9 + 46
  2. 41 + 9 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 46 = 96
Ergebnis:
96

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zeynep rechnet 33 + 75 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    337517
    So fängst du an:
    Vertauschen: 33 + 17 + 75
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 75
    2. 33 + 17 = 50
    3. 50 + 75 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●2
    Emma rechnet 19 + 87 + 41 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    198741
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 41 + 87
    2. 19 + 41 = 60
    3. 60 + 87 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★3
    Rechne geschickt: 597 + 856 + 403
    597856403
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 597 + 403 + 856
    2. 597 + 403 = 1000
    3. 1000 + 856 = 1856
    Ergebnis:
    1856

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 78 = 70 + ___
6778
Schritt für Schritt
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 78 um 3 kleiner werden: 78 − 3 = 75
  3. 70 + 75 = 145
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 78 um 3 kleiner werden: 78 − 3 = 75
  3. 70 + 75 = 145
Ergebnis:
75

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lina rechnet 299 + 86 als 300 + 86. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    29986
    So fängst du an:
    Lina hat 299 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 86 = 386.
    3. 1 wieder abziehen: 386 − 1 = 385
    Ergebnis:
    385
  2. ●5
    Noah rechnet 68 + 88 als 70 + 88. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    6888
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 88 = 158.
    3. 2 wieder abziehen: 158 − 2 = 156
    Ergebnis:
    156
  3. ★6
    Sofia rechnet 697 + 796 als 700 + 796. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    697796
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 697 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 700 + 796 = 1496.
    3. 3 wieder abziehen: 1496 − 3 = 1493
    Ergebnis:
    1493

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Reihen mit je 29 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 9 = 63
  4. 140 + 63 = 203
  1. 7 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 9 = 63
  4. 140 + 63 = 203
Ergebnis:
203 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Reihen mit je 38 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 38
    Lösung zeigen
    1. 7 · 38
    2. 38 = 30 + 8
    3. 7 · 30 = 210 und 7 · 8 = 56
    4. 210 + 56 = 266
    Ergebnis:
    266 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 − 4 = 236
    Ergebnis:
    236
  3. ★9
    Es gibt 7 Reihen mit je 49 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 49
    2. 49 = 40 + 9
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 9 = 63
    4. 280 + 63 = 343
    Ergebnis:
    343 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 80 : 5
Schritt für Schritt
  1. 80 = 50 + 30
  2. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
  3. 10 + 6 = 16
  1. 80 = 50 + 30
  2. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
  3. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 280 : 5
    So fängst du an:
    280 = 250 + 30
    Lösung zeigen
    1. 280 = 250 + 30
    2. 250 : 5 = 50 und 30 : 5 = 6
    3. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 154 : 7
    Lösung zeigen
    1. 154 = 140 + 14
    2. 140 : 7 = 20 und 14 : 7 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 804 : 6
    Lösung zeigen
    1. 804 = 780 + 24
    2. 780 : 6 = 130 und 24 : 6 = 4
    3. 130 + 4 = 134
    Ergebnis:
    134

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 68 − 58 = ___ − 60
Schritt für Schritt
  1. 58 wird zu 60: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 2 größer.
  3. 68 + 2 = 70
  1. 58 wird zu 60: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 2 größer.
  3. 68 + 2 = 70
Ergebnis:
70

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 81 − 63 = ___ − 73
    So fängst du an:
    63 wird zu 73: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 63 wird zu 73: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 10 größer.
    3. 81 + 10 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 16 · 5 = 8 · ___
    16 · 5=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 66 + 8 · 2 = 8 · ___
    8 · 66 + 8 · 2=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 66 und 8 mal 2 sind zusammen 8 mal (66 + 2).
    3. 66 + 2 = 68
    Ergebnis:
    68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Emma verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 280 + 299? Nenne ihn und rechne.
280 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 280 + 299 = 279 + 300
  3. 279 + 300 = 579
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 280 + 299 = 279 + 300
  3. 279 + 300 = 579
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 579

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 194 + 497? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 194 + 497 = 191 + 500
    3. 191 + 500 = 691
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 691

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 624 − 177 und erhält 437. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 437 + 177 = 614
  2. 614 ist nicht 624: Es ist falsch.
  3. 624 − 177 = 447
  1. Umkehraufgabe: 437 + 177 = 614
  2. 614 ist nicht 624: Es ist falsch.
  3. 624 − 177 = 447
Ergebnis:
falsch, richtig ist 447

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 376 : 8 und erhält 47. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    376 : 8Ergebnis 47?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 47 · 8 = 376
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 47 · 8 = 376
    2. 376 ist genau 376: Es stimmt.
    3. 376 : 8 = 47
    Ergebnis:
    stimmt, 47
  2. ●23
    Lea rechnet 588 : 6 und erhält 108. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    588 : 6Ergebnis 108?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 108 · 6 = 648
    2. 648 ist nicht 588: Es ist falsch.
    3. 588 : 6 = 98
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 98
  3. ★24
    Tom erhält für 363 · 28 das Ergebnis 9964. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 30 = 12.000
    2. 9964 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 363 · 28 = 10.164
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 10.164

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 34 + 14 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    34146
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 6 + 14
    2. 34 + 6 = 40
    3. 40 + 14 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 5 · 8 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    582
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 8
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 54
    6754
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 54 gibt 3 ab.
    2. 67 + 54 = 70 + 51
    3. 70 + 51 = 121
    Ergebnis:
    121
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 77 − 27 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 77 um 3 größer: 80.
    3. 80 − 30 = 50
    Ergebnis:
    80
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    3. 90 − 3 = 87
    Ergebnis:
    87
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 15 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1057
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 5 = 35
    3. Zusammen: 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    105 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 27 + 48 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    27483
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    78

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 38 = 70 + ___
    6738
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 42
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    252

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    273 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 31 + 32 = 29 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 570 − 361 und erhält 229. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 209

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 125
  2. 147
  3. 1856
  4. 385
  5. 156
  6. 1493
  7. 266 Stühle
  8. 236
  9. 343 Stühle
  10. 56
  11. 22
  12. 134
  13. 91
  14. 10
  15. 68
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  17. 70
  18. 810
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. gegensinnig verändern, 691
  22. stimmt, 47
  23. falsch, richtig ist 98
  24. falsch, richtig ist 10.164
  25. 54
  26. 80
  27. 121
  28. 80
  29. 87
  30. 105 Kästchen
  31. 78
  32. 35
  33. 252
  34. 39 Bücher
  35. 34
  36. 80
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 209
  39. 23
  40. 45
  41. 75
  42. 24