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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 9 + 40 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●40
    Rechne: (7 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 5 = 12
    2. 12 · 7 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 7 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 8 = 56
    2. 6 + 56 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 16 + 29 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
16294
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 29
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 29 = 49
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 29
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 29 = 49
Ergebnis:
49

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 5 + 23 + 15 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    52315
    So fängst du an:
    Vertauschen: 5 + 15 + 23
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 15 + 23
    2. 5 + 15 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 23 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●2
    Rechne geschickt: 52 + 47 + 48
    524748
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 52 + 48 + 47
    2. 52 + 48 = 100
    3. 100 + 47 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★3
    Rechne geschickt: 704 + 488 + 15 + 296 + 85
    7044881529685
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 704 + 296 + 15 + 85 + 488
    2. 704 + 296 = 1000 und 15 + 85 = 100
    3. 1000 + 100 + 488 = 1588
    Ergebnis:
    1588

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 35 = 40 + ___
3935
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 35 um 1 kleiner werden: 35 − 1 = 34
  3. 40 + 34 = 74
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 35 um 1 kleiner werden: 35 − 1 = 34
  3. 40 + 34 = 74
Ergebnis:
34

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Hanna rechnet 197 + 27 als 200 + 27. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    19727
    So fängst du an:
    Hanna hat 197 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 27 = 227.
    3. 3 wieder abziehen: 227 − 3 = 224
    Ergebnis:
    224
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 97 = 40 + ___
    3897
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 97 um 2 kleiner werden: 97 − 2 = 95
    3. 40 + 95 = 135
    Ergebnis:
    95
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 996 + 308
    996308
    Lösung zeigen
    1. 996 bekommt 4 dazu, 308 gibt 4 ab.
    2. 996 + 308 = 1000 + 304
    3. 1000 + 304 = 1304
    Ergebnis:
    1304

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 38
Schritt für Schritt
  1. 38 = 30 + 8
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 8 = 72
  3. 270 + 72 = 342
  1. 38 = 30 + 8
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 8 = 72
  3. 270 + 72 = 342
Ergebnis:
342

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 − 6 = 174
    Ergebnis:
    174
  3. ★9
    Es gibt 7 Hefte mit je 85 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 85
    2. 85 = 80 + 5
    3. 7 · 80 = 560 und 7 · 5 = 35
    4. 560 + 35 = 595
    Ergebnis:
    595 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 210 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 210 : 5?
210: 5
Schritt für Schritt
  1. 210 = 200 + 10
  2. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
  3. 40 + 2 = 42
  1. 210 = 200 + 10
  2. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
  3. 40 + 2 = 42
Ergebnis:
42

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    275 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    275 : 5
    Lösung zeigen
    1. 275 : 5
    2. 275 = 250 + 25
    3. 250 : 5 = 50 und 25 : 5 = 5
    4. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55 Murmeln
  2. ●11
    72 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 72 : 4
    2. 72 = 40 + 32
    3. 40 : 4 = 10 und 32 : 4 = 8
    4. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 177 : 3
    Lösung zeigen
    1. 177 = 150 + 27
    2. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 99 − 49 = ___ − 54
Schritt für Schritt
  1. 49 wird zu 54: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 5 größer.
  3. 99 + 5 = 104
  1. 49 wird zu 54: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 5 größer.
  3. 99 + 5 = 104
Ergebnis:
104

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 76 − 21 = ___ − 31
    So fängst du an:
    21 wird zu 31: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 31: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 10 größer.
    3. 76 + 10 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 49 + 48 = 59 + ___
    49 + 48=59 + ?
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 59: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 10 kleiner.
    3. 48 − 10 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 14 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Ben verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 43 + 58 + 57? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 43 + 57 = 100
  3. 100 + 58 = 158
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 43 + 57 = 100
  3. 100 + 58 = 158
Ergebnis:
vertauschen, 158

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 37 + 65 + 63? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 37 + 63 = 100
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    vertauschen, 165
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 6 · 32? Nenne ihn und rechne.
    6 · 32zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 32 = 30 + 2.
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 2 = 12
    3. Zusammen: 192
    Ergebnis:
    zerlegen, 192
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 221 + 198? Nenne ihn und rechne.
    221 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 221 + 198 = 219 + 200
    3. 219 + 200 = 419
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 419

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina erhält für 85 · 47 das Ergebnis 3995. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 50 = 4500
  2. 3995 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 85 · 47 = 3995
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 90 · 50 = 4500
  2. 3995 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 85 · 47 = 3995
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 3995

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah erhält für 47 · 16 das Ergebnis 1752. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 20 = 1000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 1752 liegt zu weit weg. Genau: 47 · 16 = 752
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 752
  2. ●23
    Zeynep rechnet 420 : 7 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    420 : 7Ergebnis 60?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 60 · 7 = 420
    2. 420 ist genau 420: Es stimmt.
    3. 420 : 7 = 60
    Ergebnis:
    stimmt, 60
  3. ★24
    Hanna erhält für 391 · 29 das Ergebnis 11.239. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 30 = 12.000
    2. 11.239 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 391 · 29 = 11.339
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 11.339

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 77 + 18 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    227718
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 18 + 77
    2. 22 + 18 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 77 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 13 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons13 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 13
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 69 = 40 + ___
    3869
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 69 um 2 kleiner werden: 69 − 2 = 67
    3. 40 + 67 = 107
    Ergebnis:
    67
  4. ●28
    Milan rechnet 80 − 39 als 80 − 40 und erhält 40. Ist das schon das Ergebnis?
    80 − 3980 − 40
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    Nein, 41
  5. ●29
    Es gibt 4 Tüten mit je 22 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 22
    2. 22 = 20 + 2
    3. 4 · 20 = 80 und 4 · 2 = 8
    4. 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    88 Bonbons
  6. ●30
    Paul rechnet 7 · 22 so: erst 7 · 20, dann 2 dazu. Paul erhält 142. Zeige am Bild, was fehlt.
    2027
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    154

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 52 + 77 + 48 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    527748
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    177

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Emma rechnet 69 + 26 als 70 + 26. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    6926
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 55
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    385

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 85 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 31 + 37 = 30 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 41 + 54 + 59? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 154

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias erhält für 24 · 13 das Ergebnis 312. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 312

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 43
  2. 147
  3. 1588
  4. 224
  5. 95
  6. 1304
  7. 273
  8. 174
  9. 595 Hefte
  10. 55 Murmeln
  11. 18 Sticker
  12. 59
  13. 86
  14. 38
  15. 28
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. vertauschen, 165
  20. zerlegen, 192
  21. gegensinnig verändern, 419
  22. falsch, richtig ist 752
  23. stimmt, 60
  24. falsch, richtig ist 11.339
  25. 117
  26. 1300 Bälle
  27. 67
  28. Nein, 41
  29. 88 Bonbons
  30. 154
  31. 177
  32. 95
  33. 385
  34. 17
  35. 38
  36. 400
  37. vertauschen, 154
  38. stimmt, 312
  39. 49
  40. 84
  41. 62
  42. 28