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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 36 − 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 36 − 24 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●40
    Rechne: (9 + 5) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 5 = 14
    2. 14 · 8 = 112
    Ergebnis:
    112

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 4 + 8 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 12 + 11 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
12118
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 11
  2. 12 + 8 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 11 = 31
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 11
  2. 12 + 8 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 11 = 31
Ergebnis:
31

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 58 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    195811
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 11 + 58
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 11 + 58
    2. 19 + 11 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 58 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●2
    Emma rechnet 26 + 18 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    261814
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 14 + 18
    2. 26 + 14 = 40
    3. 40 + 18 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★3
    Rechne geschickt: 102 + 843 + 198
    102843198
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 102 + 198 + 843
    2. 102 + 198 = 300
    3. 300 + 843 = 1143
    Ergebnis:
    1143

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 28 = 40 + ___
3928
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 28 um 1 kleiner werden: 28 − 1 = 27
  3. 40 + 27 = 67
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 28 um 1 kleiner werden: 28 − 1 = 27
  3. 40 + 27 = 67
Ergebnis:
27

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 34
    9934
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 34 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 34 gibt 1 ab.
    2. 99 + 34 = 100 + 33
    3. 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    133
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 96
    4896
    Lösung zeigen
    1. 48 bekommt 2 dazu, 96 gibt 2 ab.
    2. 48 + 96 = 50 + 94
    3. 50 + 94 = 144
    Ergebnis:
    144
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 497 + 486 = 500 + ___
    497486
    Lösung zeigen
    1. 497 wird zu 500: 3 mehr.
    2. Also muss 486 um 3 kleiner werden: 486 − 3 = 483
    3. 500 + 483 = 983
    Ergebnis:
    483

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 23
Schritt für Schritt
  1. 23 = 20 + 3
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 3 = 9
  3. 60 + 9 = 69
  1. 23 = 20 + 3
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 3 = 9
  3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Hefte mit je 69 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 69
    Lösung zeigen
    1. 6 · 69
    2. 69 = 60 + 9
    3. 6 · 60 = 360 und 6 · 9 = 54
    4. 360 + 54 = 414
    Ergebnis:
    414 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 6 Tüten mit je 36 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 6 = 36
    4. 180 + 36 = 216
    Ergebnis:
    216 Bonbons
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 8 · 200 = 1600 und 8 · 2 = 16
    3. 1600 − 16 = 1584
    Ergebnis:
    1584

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 200 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 200 : 8?
200: 8
Schritt für Schritt
  1. 200 = 160 + 40
  2. 160 : 8 = 20 und 40 : 8 = 5
  3. 20 + 5 = 25
  1. 200 = 160 + 40
  2. 160 : 8 = 20 und 40 : 8 = 5
  3. 20 + 5 = 25
Ergebnis:
25

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    175 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    175 : 5
    Lösung zeigen
    1. 175 : 5
    2. 175 = 150 + 25
    3. 150 : 5 = 30 und 25 : 5 = 5
    4. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 125 : 5
    Lösung zeigen
    1. 125 = 100 + 25
    2. 100 : 5 = 20 und 25 : 5 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25
  3. ★12
    684 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 684 : 4
    2. 684 = 680 + 4
    3. 680 : 4 = 170 und 4 : 4 = 1
    4. 170 + 1 = 171
    Ergebnis:
    171 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 8 · 13 = 4 · ___
8 · 13=4 · ?
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 12 = 2 · ___
    4 · 12=2 · ?
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 41 − 23 = ___ − 24
    Lösung zeigen
    1. 23 wird zu 24: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 41 um 1 größer.
    3. 41 + 1 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 5 · 42 + 5 · 4 = 5 · ___
    5 · 42 + 5 · 4=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 42 und 5 mal 4 sind zusammen 5 mal (42 + 4).
    3. 42 + 4 = 46
    Ergebnis:
    46

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 337 + 497? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 337 + 497 = 334 + 500
  3. 334 + 500 = 834
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 337 + 497 = 334 + 500
  3. 334 + 500 = 834
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 834

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 281 + 299? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 281 + 299 = 280 + 300
    3. 280 + 300 = 580
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 580
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 + 59 + 84? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 16 + 84 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    vertauschen, 159
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 9 · 36? Nenne ihn und rechne.
    9 · 36zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 36 = 30 + 6.
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 324
    Ergebnis:
    zerlegen, 324

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 895 − 540 und erhält 365. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 365 + 540 = 905
  2. 905 ist nicht 895: Es ist falsch.
  3. 895 − 540 = 355
  1. Umkehraufgabe: 365 + 540 = 905
  2. 905 ist nicht 895: Es ist falsch.
  3. 895 − 540 = 355
Ergebnis:
falsch, richtig ist 355

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 245 : 5 und erhält 49. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    245 : 5Ergebnis 49?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 49 · 5 = 245
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 49 · 5 = 245
    2. 245 ist genau 245: Es stimmt.
    3. 245 : 5 = 49
    Ergebnis:
    stimmt, 49
  2. ●23
    Jonas rechnet 742 − 549 und erhält 183. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 183 + 549 = 732
    2. 732 ist nicht 742: Es ist falsch.
    3. 742 − 549 = 193
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 193
  3. ★24
    Ben rechnet 4305 : 7 und erhält 615. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4305 : 7Ergebnis 615?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 615 · 7 = 4305
    2. 4305 ist genau 4305: Es stimmt.
    3. 4305 : 7 = 615
    Ergebnis:
    stimmt, 615

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 38 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    17383
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 3 + 38
    2. 17 + 3 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 38 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●26
    Rechne geschickt: 9 · 5 · 20
    9520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 9
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 9 = 900
    Ergebnis:
    900
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 25
    29725
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 25 gibt 3 ab.
    2. 297 + 25 = 300 + 22
    3. 300 + 22 = 322
    Ergebnis:
    322
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 130 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 130 um 2 größer: 132.
    3. 132 − 40 = 92
    Ergebnis:
    132
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 61
    Lösung zeigen
    1. 61 = 60 + 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 + 7 = 427
    Ergebnis:
    427
  6. ●30
    Emma rechnet 3 · 26 so: erst 3 · 20, dann 6 dazu. Emma erhält 66. Zeige am Bild, was fehlt.
    2063
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 3 · 6 = 18
    3. 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 16 + 59 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    16594
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 78
    6978
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    147

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    228

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 8?
    216: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 + 76 = 83 + ___
    84 + 76=83 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 701 − 447 und erhält 264. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 254

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 88
  2. 58
  3. 1143
  4. 133
  5. 144
  6. 483
  7. 414 Hefte
  8. 216 Bonbons
  9. 1584
  10. 35 Bücher
  11. 25
  12. 171 Sticker
  13. 24
  14. 42
  15. 46
  16. 80
  17. 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. gegensinnig verändern, 580
  20. vertauschen, 159
  21. zerlegen, 324
  22. stimmt, 49
  23. falsch, richtig ist 193
  24. stimmt, 615
  25. 58
  26. 900
  27. 322
  28. 132
  29. 427
  30. 78
  31. 79
  32. 147
  33. 228
  34. 27
  35. 77
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 254
  39. 12
  40. 112
  41. 12
  42. 43