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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 52 − 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 52 − 40 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●40
    Rechne: (4 + 6) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 6 = 10
    2. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 9 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 5 = 45
    2. 10 + 45 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 98. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 67 + 31 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
673133
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 67 + 33 + 31
  2. 67 + 33 = 100
  3. 100 + 31 = 131
  1. Vertauschen: 67 + 33 + 31
  2. 67 + 33 = 100
  3. 100 + 31 = 131
Ergebnis:
131

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 36 + 13 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    173613
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 13 + 36
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 13 + 36
    2. 17 + 13 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 36 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●2
    Lina rechnet 26 + 47 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    264724
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 24 + 47
    2. 26 + 24 = 50
    3. 50 + 47 = 97
    Ergebnis:
    97
  3. ★3
    Lina rechnet 613 + 126 + 387 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    613126387
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 613 + 387 + 126
    2. 613 + 387 = 1000
    3. 1000 + 126 = 1126
    Ergebnis:
    1126

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 33
29833
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 33 gibt 2 ab.
  2. 298 + 33 = 300 + 31
  3. 300 + 31 = 331
  1. 298 bekommt 2 dazu, 33 gibt 2 ab.
  2. 298 + 33 = 300 + 31
  3. 300 + 31 = 331
Ergebnis:
331

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 67 + 69 als 70 + 69. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    6769
    So fängst du an:
    Lea hat 67 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 69 = 139.
    3. 3 wieder abziehen: 139 − 3 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●5
    Elias rechnet 68 + 58 als 70 + 58. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    6858
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 58 = 128.
    3. 2 wieder abziehen: 128 − 2 = 126
    Ergebnis:
    126
  3. ★6
    Mia rechnet 999 + 299 als 1000 + 299. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    999299
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 999 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 1000 + 299 = 1299.
    3. 1 wieder abziehen: 1299 − 1 = 1298
    Ergebnis:
    1298

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 27
Schritt für Schritt
  1. 27 = 20 + 7
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 7 = 21
  3. 60 + 21 = 81
  1. 27 = 20 + 7
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 7 = 21
  3. 60 + 21 = 81
Ergebnis:
81

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Hefte mit je 18 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 18
    Lösung zeigen
    1. 8 · 18
    2. 18 = 10 + 8
    3. 8 · 10 = 80 und 8 · 8 = 64
    4. 80 + 64 = 144
    Ergebnis:
    144 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 23
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 3 = 18
    3. 120 + 18 = 138
    Ergebnis:
    138

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 84 : 3
Schritt für Schritt
  1. 84 = 60 + 24
  2. 60 : 3 = 20 und 24 : 3 = 8
  3. 20 + 8 = 28
  1. 84 = 60 + 24
  2. 60 : 3 = 20 und 24 : 3 = 8
  3. 20 + 8 = 28
Ergebnis:
28

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 416 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 416 : 8?
    416: 8
    So fängst du an:
    416 = 400 + 16
    Lösung zeigen
    1. 416 = 400 + 16
    2. 400 : 8 = 50 und 16 : 8 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●11
    Zerlege 318 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 318 : 6?
    318: 6
    Lösung zeigen
    1. 318 = 300 + 18
    2. 300 : 6 = 50 und 18 : 6 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 480 : 5
    Lösung zeigen
    1. 480 = 450 + 30
    2. 450 : 5 = 90 und 30 : 5 = 6
    3. 90 + 6 = 96
    Ergebnis:
    96

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 15 = 8 · ___
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 81 − 47 = ___ − 49
    So fängst du an:
    47 wird zu 49: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 49: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 2 größer.
    3. 81 + 2 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 61 − 42 = ___ − 47
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 47: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 5 größer.
    3. 61 + 5 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 50 + 6 · 7 = 6 · ___
    6 · 50 + 6 · 7=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 50 und 6 mal 7 sind zusammen 6 mal (50 + 7).
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Paul verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 165 + 399? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 165 + 399 = 164 + 400
  3. 164 + 400 = 564
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 165 + 399 = 164 + 400
  3. 164 + 400 = 564
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 564

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 327 + 399? Nenne ihn und rechne.
    327 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 327 + 399 = 326 + 400
    3. 326 + 400 = 726
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 726
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 50? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 0 = 0
    3. Zusammen: 450
    Ergebnis:
    zerlegen, 450

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom erhält für 76 · 46 das Ergebnis 3496. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
  2. 3496 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 76 · 46 = 3496
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
  2. 3496 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 76 · 46 = 3496
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 3496

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia rechnet 474 : 6 und erhält 79. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    474 : 6Ergebnis 79?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 79 · 6 = 474
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 79 · 6 = 474
    2. 474 ist genau 474: Es stimmt.
    3. 474 : 6 = 79
    Ergebnis:
    stimmt, 79
  2. ●23
    Paul erhält für 61 · 36 das Ergebnis 2196. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
    2. 2196 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 61 · 36 = 2196
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2196
  3. ★24
    Jonas rechnet 8271 − 600 und erhält 7661. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 7661 + 600 = 8261
    2. 8261 ist nicht 8271: Es ist falsch.
    3. 8271 − 600 = 7671
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 7671

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 7 + 46 + 33
    74633
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    1. Vertauschen: 7 + 33 + 46
    2. 7 + 33 = 40
    3. 40 + 46 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 18 · 5 · 20 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    18520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 18
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 26
    9726
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 26 gibt 3 ab.
    2. 97 + 26 = 100 + 23
    3. 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    123
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 142 − 98 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 142 um 2 größer: 144.
    3. 144 − 100 = 44
    Ergebnis:
    144
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 24 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2046
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 4 = 24
    3. Zusammen: 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    144 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 32 + 27 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    322728
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 59 = 50 + ___
    4959
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Reihen mit je 56 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    392 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    408 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    68 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 12 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Paul verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 21 + 46 + 79? Nenne ihn und rechne.
    21 + 46 + 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 146

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 72 : 3 und erhält 23. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    72 : 3Ergebnis 23?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 24

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 66
  2. 97
  3. 1126
  4. 136
  5. 126
  6. 1298
  7. 144 Hefte
  8. 177
  9. 138
  10. 52
  11. 53
  12. 96
  13. 83
  14. 66
  15. 57
  16. 210
  17. 180
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. gegensinnig verändern, 726
  21. zerlegen, 450
  22. stimmt, 79
  23. stimmt, 2196
  24. falsch, richtig ist 7671
  25. 86
  26. 1800
  27. 123
  28. 144
  29. 171
  30. 144 Kästchen
  31. 87
  32. 58
  33. 392 Stühle
  34. 68 Murmeln
  35. 24
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. vertauschen, 146
  38. falsch, richtig ist 24
  39. 12
  40. 30
  41. 55
  42. 58