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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 39 − 25 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (8 + 3) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 3 = 11
    2. 11 · 3 = 33
    Ergebnis:
    33

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 6 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 4 = 24
    2. 7 + 24 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 76. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 48 + 43 + 52
484352
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 48 + 52 + 43
  2. 48 + 52 = 100
  3. 100 + 43 = 143
  1. Vertauschen: 48 + 52 + 43
  2. 48 + 52 = 100
  3. 100 + 43 = 143
Ergebnis:
143

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Milan rechnet 12 + 17 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    121718
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 18 + 17
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 17
    2. 12 + 18 = 30
    3. 30 + 17 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 28 + 35 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    152835
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 35 + 28
    2. 15 + 35 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 28 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Elias rechnet 173 + 341 + 82 + 27 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    173341822718
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 173 + 27 + 82 + 18 + 341
    2. 173 + 27 = 200 und 82 + 18 = 100
    3. 200 + 100 + 341 = 641
    Ergebnis:
    641

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Paul rechnet 98 + 77 als 100 + 77. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
9877
Schritt für Schritt
  1. Paul hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 77 = 177.
  3. 2 wieder abziehen: 177 − 2 = 175
  1. Paul hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 77 = 177.
  3. 2 wieder abziehen: 177 − 2 = 175
Ergebnis:
175

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 58
    19758
    So fängst du an:
    197 bekommt 3 dazu, 58 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 58 gibt 3 ab.
    2. 197 + 58 = 200 + 55
    3. 200 + 55 = 255
    Ergebnis:
    255
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 85 = 200 + ___
    19785
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 85 um 3 kleiner werden: 85 − 3 = 82
    3. 200 + 82 = 282
    Ergebnis:
    82
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 997 + 789 = 1000 + ___
    997789
    Lösung zeigen
    1. 997 wird zu 1000: 3 mehr.
    2. Also muss 789 um 3 kleiner werden: 789 − 3 = 786
    3. 1000 + 786 = 1786
    Ergebnis:
    786

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 18
Schritt für Schritt
  1. 18 = 10 + 8
  2. 4 · 10 = 40 und 4 · 8 = 32
  3. 40 + 32 = 72
  1. 18 = 10 + 8
  2. 4 · 10 = 40 und 4 · 8 = 32
  3. 40 + 32 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 9 · 274
    Lösung zeigen
    1. 274 = 200 + 70 + 4
    2. 9 · 200 = 1800; 9 · 70 = 630; 9 · 4 = 36
    3. 1800 + 630 + 36 = 2466
    Ergebnis:
    2466

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

371 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 371 : 7
  2. 371 = 350 + 21
  3. 350 : 7 = 50 und 21 : 7 = 3
  4. 50 + 3 = 53
  1. 371 : 7
  2. 371 = 350 + 21
  3. 350 : 7 = 50 und 21 : 7 = 3
  4. 50 + 3 = 53
Ergebnis:
53 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 174 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 174 : 6?
    174: 6
    So fängst du an:
    174 = 120 + 54
    Lösung zeigen
    1. 174 = 120 + 54
    2. 120 : 6 = 20 und 54 : 6 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●11
    196 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 196 : 7
    2. 196 = 140 + 56
    3. 140 : 7 = 20 und 56 : 7 = 8
    4. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28 Murmeln
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 116 : 4
    Lösung zeigen
    1. 116 = 80 + 36
    2. 80 : 4 = 20 und 36 : 4 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 17 + 49 = 27 + ___
17 + 49=27 + ?
Schritt für Schritt
  1. 17 wird zu 27: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 49 um 10 kleiner.
  3. 49 − 10 = 39
  1. 17 wird zu 27: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 49 um 10 kleiner.
  3. 49 − 10 = 39
Ergebnis:
39

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 49 − 32 = ___ − 37
    So fängst du an:
    32 wird zu 37: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 32 wird zu 37: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 5 größer.
    3. 49 + 5 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 54 − 18 = ___ − 23
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 23: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 5 größer.
    3. 54 + 5 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 14 · 4 = 7 · ___
    14 · 4=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 66? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 66 = 60 + 6.
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 6 = 36
  3. Zusammen: 396
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 66 = 60 + 6.
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 6 = 36
  3. Zusammen: 396
Ergebnis:
zerlegen, 396

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 36 + 51 + 64? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    vertauschen, 151
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 50? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 0 = 0
    3. Zusammen: 200
    Ergebnis:
    zerlegen, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep erhält für 44 · 22 das Ergebnis 1068. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 1068 liegt zu weit weg. Genau: 44 · 22 = 968
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 1068 liegt zu weit weg. Genau: 44 · 22 = 968
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 968

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 549 : 9 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    549 : 9Ergebnis 60?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 60 · 9 = 540
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 60 · 9 = 540
    2. 540 ist nicht 549: Es ist falsch.
    3. 549 : 9 = 61
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 61
  2. ●23
    Noah rechnet 773 − 187 und erhält 586. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 586 + 187 = 773
    2. 773 ist genau 773: Es stimmt.
    3. 773 − 187 = 586
    Ergebnis:
    stimmt, 586
  3. ★24
    Lina erhält für 379 · 21 das Ergebnis 7959. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
    2. 7959 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 379 · 21 = 7959
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 7959

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 87 + 45 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    874513
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 87 + 13 + 45
    2. 87 + 13 = 100
    3. 100 + 45 = 145
    Ergebnis:
    145
  2. ●26
    Rechne geschickt: 8 · 2 · 5
    825
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 8
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 34 = 50 + ___
    4734
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 34 um 3 kleiner werden: 34 − 3 = 31
    3. 50 + 31 = 81
    Ergebnis:
    31
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 163 − 18 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 20: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 163 um 2 größer: 165.
    3. 165 − 20 = 145
    Ergebnis:
    165
  5. ●29
    Es gibt 5 Reihen mit je 41 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    4. 200 + 5 = 205
    Ergebnis:
    205 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2014
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 1 = 4
    3. Zusammen: 80 + 4 = 84
    Ergebnis:
    84 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 33 + 89 + 27
    338927
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    149

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 67
    3767
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    104

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    413

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 205 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 75 − 30 = ___ − 32
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Aylin verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 244 + 497? Nenne ihn und rechne.
    244 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 741

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 361 − 161 und erhält 200. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 200

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 47
  2. 78
  3. 641
  4. 255
  5. 82
  6. 786
  7. 472
  8. 133
  9. 2466
  10. 29
  11. 28 Murmeln
  12. 29
  13. 54
  14. 59
  15. 8
  16. 400
  17. 180
  18. 800
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. vertauschen, 151
  21. zerlegen, 200
  22. falsch, richtig ist 61
  23. stimmt, 586
  24. stimmt, 7959
  25. 145
  26. 80
  27. 31
  28. 165
  29. 205 Stühle
  30. 84 Kästchen
  31. 149
  32. 104
  33. 413
  34. 41
  35. 77
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. gegensinnig verändern, 741
  38. stimmt, 200
  39. 14
  40. 33
  41. 31
  42. 51