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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 22 − 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 22 − 15 = 7
    Ergebnis:
    7
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 7 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 9 = 63
    2. 7 + 63 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 34. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 78 + 53 + 22
785322
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 78 + 22 + 53
  2. 78 + 22 = 100
  3. 100 + 53 = 153
  1. Vertauschen: 78 + 22 + 53
  2. 78 + 22 = 100
  3. 100 + 53 = 153
Ergebnis:
153

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Hanna rechnet 35 + 37 + 65 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    353765
    So fängst du an:
    Vertauschen: 35 + 65 + 37
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 65 + 37
    2. 35 + 65 = 100
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    137
  2. ●2
    Tom rechnet 21 + 26 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    21269
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 9 + 26
    2. 21 + 9 = 30
    3. 30 + 26 = 56
    Ergebnis:
    56
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 109 + 897 + 41 + 91 + 59 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    109897419159
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 109 + 91 + 41 + 59 + 897
    2. 109 + 91 = 200 und 41 + 59 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 100 + 897 = 1197
    Ergebnis:
    1197

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 45 = 40 + ___
3845
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 45 um 2 kleiner werden: 45 − 2 = 43
  3. 40 + 43 = 83
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 45 um 2 kleiner werden: 45 − 2 = 43
  3. 40 + 43 = 83
Ergebnis:
43

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 35
    6835
    So fängst du an:
    68 bekommt 2 dazu, 35 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 35 gibt 2 ab.
    2. 68 + 35 = 70 + 33
    3. 70 + 33 = 103
    Ergebnis:
    103
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 77
    9777
    Lösung zeigen
    1. 97 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
    2. 97 + 77 = 100 + 74
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    174
  3. ★6
    Hanna rechnet 399 + 334 als 400 + 334. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    399334
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 399 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 400 + 334 = 734.
    3. 1 wieder abziehen: 734 − 1 = 733
    Ergebnis:
    733

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Hefte mit je 29 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 4 · 20 = 80 und 4 · 9 = 36
  4. 80 + 36 = 116
  1. 4 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 4 · 20 = 80 und 4 · 9 = 36
  4. 80 + 36 = 116
Ergebnis:
116 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152
  2. ●8
    Es gibt 7 Reihen mit je 26 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 26
    2. 26 = 20 + 6
    3. 7 · 20 = 140 und 7 · 6 = 42
    4. 140 + 42 = 182
    Ergebnis:
    182 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 8 · 200 = 1600 und 8 · 2 = 16
    3. 1600 − 16 = 1584
    Ergebnis:
    1584

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 164 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 164 : 4?
164: 4
Schritt für Schritt
  1. 164 = 160 + 4
  2. 160 : 4 = 40 und 4 : 4 = 1
  3. 40 + 1 = 41
  1. 164 = 160 + 4
  2. 160 : 4 = 40 und 4 : 4 = 1
  3. 40 + 1 = 41
Ergebnis:
41

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 184 : 4
    So fängst du an:
    184 = 160 + 24
    Lösung zeigen
    1. 184 = 160 + 24
    2. 160 : 4 = 40 und 24 : 4 = 6
    3. 40 + 6 = 46
    Ergebnis:
    46
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 384 : 6
    Lösung zeigen
    1. 384 = 360 + 24
    2. 360 : 6 = 60 und 24 : 6 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★12
    168 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 168 : 3
    2. 168 = 150 + 18
    3. 150 : 3 = 50 und 18 : 3 = 6
    4. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 99 − 73 = ___ − 75
Schritt für Schritt
  1. 73 wird zu 75: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 2 größer.
  3. 99 + 2 = 101
  1. 73 wird zu 75: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 2 größer.
  3. 99 + 2 = 101
Ergebnis:
101

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 77 + 86 = 80 + ___
    77 + 86=80 + ?
    So fängst du an:
    77 wird zu 80: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 77 wird zu 80: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 86 um 3 kleiner.
    3. 86 − 3 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 17 + 51 = 18 + ___
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 18: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 51 um 1 kleiner.
    3. 51 − 1 = 50
    Ergebnis:
    50
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 8 = 9 · ___
    18 · 8=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Hanna verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 282 + 399? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 282 + 399 = 281 + 400
  3. 281 + 400 = 681
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 282 + 399 = 281 + 400
  3. 281 + 400 = 681
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 681

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 44 + 41 + 56? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 41 = 141
    Ergebnis:
    vertauschen, 141
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 6530 − 5114? Nenne ihn und rechne.
    6530 − 5114zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6530 − 5114 = 1416
    Ergebnis:
    schriftlich, 1416

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 266 : 7 und erhält 37. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
266 : 7Ergebnis 37?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 37 · 7 = 259
  2. 259 ist nicht 266: Es ist falsch.
  3. 266 : 7 = 38
  1. Umkehraufgabe: 37 · 7 = 259
  2. 259 ist nicht 266: Es ist falsch.
  3. 266 : 7 = 38
Ergebnis:
falsch, richtig ist 38

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 873 : 9 und erhält 97. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    873 : 9Ergebnis 97?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 97 · 9 = 873
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 97 · 9 = 873
    2. 873 ist genau 873: Es stimmt.
    3. 873 : 9 = 97
    Ergebnis:
    stimmt, 97
  2. ●23
    Emma erhält für 55 · 39 das Ergebnis 2145. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
    2. 2145 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 55 · 39 = 2145
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2145
  3. ★24
    Sofia rechnet 5528 : 8 und erhält 691. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    5528 : 8Ergebnis 691?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 691 · 8 = 5528
    2. 5528 ist genau 5528: Es stimmt.
    3. 5528 : 8 = 691
    Ergebnis:
    stimmt, 691

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ben rechnet 8 + 78 + 42 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    87842
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 42 + 78
    2. 8 + 42 = 50
    3. 50 + 78 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kisten12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 12
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 12 = 120
    Ergebnis:
    120 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 92
    4992
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 92 gibt 1 ab.
    2. 49 + 92 = 50 + 91
    3. 50 + 91 = 141
    Ergebnis:
    141
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 53 − 39
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 53 − 39 = 54 − 40
    3. 54 − 40 = 14
    Ergebnis:
    14
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 14?
    1043
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 4 = 12
    3. 3 · 14 = 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 4, zusammen 42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 62 + 27 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    136227
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    102

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Paul rechnet 39 + 77 als 40 + 77. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    3977
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Reihen mit je 28 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 234 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 234 : 9?
    234: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 4 · 9 = 2 · ___
    4 · 9=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 67? Nenne ihn und rechne.
    6 · 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 402

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 616 : 7 und erhält 98. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    616 : 7Ergebnis 98?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 88

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 137
  2. 56
  3. 1197
  4. 103
  5. 174
  6. 733
  7. 152
  8. 182 Stühle
  9. 1584
  10. 46
  11. 64
  12. 56 Murmeln
  13. 83
  14. 50
  15. 16
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. vertauschen, 141
  21. schriftlich, 1416
  22. stimmt, 97
  23. stimmt, 2145
  24. stimmt, 691
  25. 128
  26. 120 Bälle
  27. 141
  28. 14
  29. 413
  30. 3 · 10 und 3 · 4, zusammen 42
  31. 102
  32. 116
  33. 112 Stühle
  34. 26
  35. 18
  36. 200
  37. zerlegen, 402
  38. falsch, richtig ist 88
  39. 7
  40. 80
  41. 70
  42. 31